Страница 71 номер 6.46, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сумма диагоналей ромба равна 14 см, а его площадь — 24 см\(^2\). Найдите сторону ромба.
Дано:
ромб \(ABCD\)
\(AC + BD = 14\) см
\(S = 24\) см\(^2\)
Найти: сторону ромба.
Решение:
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба, \(AC = d_1\), \(BD = d_2\).
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, поэтому \(\frac{1}{2}d_1d_2 = 24\), то есть \(d_1d_2 = 48\). По условию \(d_1 + d_2 = 14\), поэтому \[d_1^2 + d_2^2 = (d_1 + d_2)^2 - 2d_1d_2 = 14^2 - 2 \cdot 48 = 196 - 96 = 100.\]
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(\angle AOB = 90^\circ\), \(AO = \frac{d_1}{2}\) и \(BO = \frac{d_2}{2}\). По теореме Пифагора из треугольника \(AOB\) получаем \[AB^2 = AO^2 + BO^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} = \frac{100}{4} = 25.\]
Значит, \(AB = 5\) см.
Ответ: 5 см.
Сумма диагоналей ромба равна 14 см, а его площадь — 24 см\(^2\). Найдите сторону ромба.
Дано:
ромб \(ABCD\)
\(AC + BD = 14\) см
\(S = 24\) см\(^2\)
Найти: сторону ромба.
Решение:
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба, \(AC = d_1\), \(BD = d_2\).
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, поэтому \(\frac{1}{2}d_1d_2 = 24\), то есть \(d_1d_2 = 48\). По условию \(d_1 + d_2 = 14\), поэтому \[d_1^2 + d_2^2 = (d_1 + d_2)^2 - 2d_1d_2 = 14^2 - 2 \cdot 48 = 196 - 96 = 100.\]
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(\angle AOB = 90^\circ\), \(AO = \frac{d_1}{2}\) и \(BO = \frac{d_2}{2}\). По теореме Пифагора из треугольника \(AOB\) получаем \[\begin{aligned} &AB^2 = AO^2 + BO^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = {} \\ &= \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} = \frac{100}{4} = 25. \end{aligned}\]
Значит, \(AB = 5\) см.
Ответ: 5 см.
