Страницы 70-71 номер 6.45, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребро \(a\)
\(M \in A_1D_1\), \(A_1M : MD_1 = 1 : 5\)
\(N \in BC\), \(BN : NC = 1 : 2\)
\(\alpha\) — плоскость, \(N \in \alpha\), \(\alpha \parallel AB_1M\)
\(\alpha\) пересекает прямую \(DC\) в точке \(K\)

Найти: отношение \(KD : KC\).

Решение:

Точка \(M\) отмечена на ребре \(A_1D_1\), причём \(A_1M : MD_1 = 1 : 5\); точка \(N\) отмечена на ребре \(BC\), причём \(BN : NC = 1 : 2\). Значит, \(A_1M = \frac{1}{6}a\), \(BN = \frac{1}{3}a\) и \(NC = \frac{2}{3}a\).

Так как плоскость \(\alpha\) параллельна плоскости \(AB_1M\) и проходит через точку \(N\), точка \(N\) не принадлежит плоскости \(AB_1M\): параллельные плоскости не имеют общих точек.

1) Отметим на ребре \(AD\) точку \(T\) так, что \(AT : TD = 1 : 5\), то есть \(AT = A_1M = \frac{1}{6}a\).

Отрезки \(AT\) и \(A_1M\) равны и лежат на параллельных прямых \(AD\) и \(A_1D_1\), поэтому \(ATMA_1\) — параллелограмм и \(TM \parallel AA_1\), \(TM = AA_1\). Грань \(ABB_1A_1\) — квадрат, поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\) и \(AA_1 = BB_1\); значит, \(TM \parallel BB_1\) и \(TM = BB_1\), то есть \(BB_1MT\) — параллелограмм и \(BT \parallel B_1M\).

В плоскости основания проведём через точку \(N\) прямую, параллельную прямой \(BT\); она пересекает ребро \(AD\) в точке \(E\). Отрезки \(BN\) и \(TE\) лежат на параллельных прямых \(BC\) и \(AD\), а \(NE \parallel BT\), поэтому \(BNET\) — параллелограмм и \(TE = BN = \frac{1}{3}a\). Тогда \(AE = AT + TE = \frac{1}{6}a + \frac{1}{3}a = \frac{1}{2}a\), то есть \(E\) — середина ребра \(AD\), и \(DE = \frac{1}{2}a\).

В плоскости грани \(ADD_1A_1\) проведём через точку \(E\) прямую, параллельную прямой \(AM\); она пересекает ребро \(A_1D_1\) в точке \(G\). Так как \(AE \parallel MG\) (эти отрезки лежат на параллельных прямых \(AD\) и \(A_1D_1\)) и \(EG \parallel AM\), то \(AEGM\) — параллелограмм и \(MG = AE = \frac{1}{2}a\). Тогда \(A_1G = A_1M + MG = \frac{1}{6}a + \frac{1}{2}a = \frac{2}{3}a\).

Прямые \(NE\) и \(EG\) пересекаются в точке \(E\) и соответственно параллельны прямым \(B_1M\) и \(AM\), которые пересекаются в точке \(M\) и лежат в плоскости \(AB_1M\). По признаку параллельности двух плоскостей плоскость \(NEG\) параллельна плоскости \(AB_1M\), а через точку \(N\) проходит только одна плоскость, параллельная плоскости \(AB_1M\). Значит, \(\alpha\) — это плоскость \(NEG\), и отрезки \(NE\) и \(EG\) — линии её пересечения с гранями \(ABCD\) и \(ADD_1A_1\).

Прямые \(A_1B_1\) и \(A_1D_1\) пересекаются в точке \(A_1\) и соответственно параллельны прямым \(AB\) и \(AD\) (противоположные стороны квадратов — граней куба), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей плоскости оснований куба параллельны. Плоскость \(\alpha\) пересекает их обе, поэтому прямые пересечения параллельны: проведём через точку \(G\) прямую, параллельную прямой \(NE\), то есть параллельную прямой \(B_1M\). Она пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(H\). Отрезки \(MG\) и \(B_1H\) лежат на параллельных прямых \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\), а \(GH \parallel MB_1\), поэтому \(MGHB_1\) — параллелограмм и \(B_1H = MG = \frac{1}{2}a\), то есть \(H\) — середина ребра \(B_1C_1\).

Точки \(N\) и \(H\) принадлежат грани \(BCC_1B_1\) и плоскости \(\alpha\), поэтому эта грань пересекается плоскостью \(\alpha\) по отрезку \(NH\). Четырёхугольник \(ENHG\) — искомое сечение; при этом \(EN \parallel GH\) по построению, а \(EN = BT\), \(GH = MB_1\) и \(BT = MB_1\), поэтому \(EN = GH\). Значит, \(ENHG\) — параллелограмм.

2) Точка \(K\) принадлежит плоскости \(\alpha\) и прямой \(DC\), а значит, и плоскости основания. Плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость основания по прямой \(NE\), поэтому точка \(K\) лежит на прямой \(NE\): она лежит на продолжении отрезка \(NE\) за точку \(E\) и на продолжении отрезка \(CD\) за точку \(D\).

Точки \(E\) и \(N\) лежат на параллельных прямых \(AD\) и \(BC\), поэтому \(DE \parallel CN\). Угол при вершине \(K\) у треугольников \(KDE\) и \(KCN\) общий, а \(\angle KDE = \angle KCN\) как соответственные углы при параллельных прямых \(DE\) и \(CN\) и секущей \(DC\). Значит, треугольники \(KDE\) и \(KCN\) подобны, и, так как \(DE = \frac{1}{2}a\), а \(CN = \frac{2}{3}a\), \[\frac{KD}{KC} = \frac{DE}{CN} = \frac{1}{2} : \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}.\]

Ответ: сечение — параллелограмм \(ENHG\); \(KD : KC = 3 : 4\).