Страница 70 номер 6.44, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребро \(a\)
\(M \in BC\), \(BM = MC\)
\(N \in A_1D_1\), \(A_1N : ND_1 = 1 : 3\)
\(\alpha\) — плоскость, \(N \in \alpha\), \(\alpha \parallel AB_1M\)

Найти: отношение, в котором плоскость \(\alpha\) делит ребро \(B_1C_1\), считая от точки \(B_1\).

Решение:

Так как плоскость \(\alpha\) параллельна плоскости \(AB_1M\) и проходит через точку \(N\), эта точка не принадлежит плоскости \(AB_1M\) (параллельные плоскости не имеют общих точек).

1) Пусть \(K\) — середина ребра \(B_1C_1\), а \(T\) — середина ребра \(AD\).

В квадрате \(BCC_1B_1\) отрезки \(BM\) и \(B_1K\) равны половине ребра и лежат на параллельных прямых \(BC\) и \(B_1C_1\), поэтому \(BMKB_1\) — параллелограмм и \(MK \parallel BB_1\), \(MK = BB_1\). Грань \(ABB_1A_1\) — квадрат, поэтому \(BB_1 \parallel AA_1\) и \(BB_1 = AA_1\); значит, \(MK \parallel AA_1\) и \(MK = AA_1\), то есть \(AMKA_1\) — параллелограмм и \(A_1K \parallel AM\).

Отрезки \(AT\) и \(BM\) равны половине ребра и лежат на параллельных прямых \(AD\) и \(BC\), поэтому \(ABMT\) — параллелограмм и \(TM \parallel AB\), \(TM = AB\). Так как \(AB \parallel A_1B_1\) и \(AB = A_1B_1\), то \(TM \parallel A_1B_1\) и \(TM = A_1B_1\), то есть \(A_1B_1MT\) — параллелограмм и \(A_1T \parallel B_1M\).

В плоскости верхней грани проведём через точку \(N\) прямую, параллельную прямой \(A_1K\). Прямая \(A_1K\) пересекает прямую \(B_1C_1\) в точке \(K\) и от неё отлична, поэтому ей не параллельна; значит, и проведённая прямая не параллельна прямой \(B_1C_1\) и пересекает её в некоторой точке \(F\). Так же в плоскости грани \(ADD_1A_1\) проведём через точку \(N\) прямую, параллельную прямой \(A_1T\): прямая \(A_1T\) пересекает прямую \(AD\) в точке \(T\) и от неё отлична, поэтому проведённая прямая пересекает прямую \(AD\) в некоторой точке \(E\).

Отрезки \(A_1N\) и \(KF\) лежат на параллельных прямых \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\), а \(NF \parallel A_1K\), поэтому \(A_1NFK\) — параллелограмм и \(KF = A_1N = \frac{1}{4}a\). Точка \(K\) — середина ребра \(B_1C_1\), то есть \(KC_1 = \frac{1}{2}a\), поэтому точка \(F\) лежит между точками \(K\) и \(C_1\), то есть на ребре \(B_1C_1\). Так же \(A_1NET\) — параллелограмм, поэтому \(TE = A_1N = \frac{1}{4}a\); точка \(T\) — середина ребра \(AD\), то есть \(TD = \frac{1}{2}a\), поэтому точка \(E\) лежит между точками \(T\) и \(D\), то есть на ребре \(AD\), и \(AE = AT + TE = \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a = \frac{3}{4}a\).

Прямые \(NF\) и \(NE\) пересекаются в точке \(N\) и соответственно параллельны прямым \(AM\) и \(B_1M\), которые пересекаются в точке \(M\) и лежат в плоскости \(AB_1M\). По признаку параллельности двух плоскостей плоскость \(NEF\) параллельна плоскости \(AB_1M\). Через точку \(N\) проходит только одна плоскость, параллельная плоскости \(AB_1M\), поэтому \(\alpha\) — это плоскость \(NEF\), а отрезки \(NF\) и \(NE\) — линии её пересечения с гранями \(A_1B_1C_1D_1\) и \(ADD_1A_1\).

Точки \(A\) и \(M\) принадлежат и плоскости \(AB_1M\), и плоскости \(ABCD\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AM\) принадлежит каждой из них, а по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой. Значит, все их общие точки лежат на прямой \(AM\), то есть \(AM\) — линия пересечения плоскостей \(AB_1M\) и \(ABCD\). Плоскость основания пересекает параллельные плоскости \(AB_1M\) и \(\alpha\), поэтому прямые пересечения параллельны: проведём через точку \(E\) прямую, параллельную прямой \(AM\). Отрезки \(AT\) и \(MC\) равны половине ребра и лежат на параллельных прямых \(AD\) и \(BC\), поэтому \(ATCM\) — параллелограмм и \(TC \parallel AM\). В треугольнике \(DTC\) точка \(E\) — середина стороны \(TD\) (так как \(TE = \frac{1}{4}a\), а \(TD = \frac{1}{2}a\)), а проведённая прямая параллельна стороне \(TC\), поэтому она пересекает сторону \(DC\) в её середине \(P\), и \(EP\) — линия пересечения плоскости \(\alpha\) с гранью \(ABCD\).

Грани \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) лежат в параллельных плоскостях: \(AD \parallel BC\) и \(AA_1 \parallel BB_1\) как противоположные стороны квадратов — граней куба, а прямые \(AD\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей эти плоскости параллельны. Плоскость \(\alpha\) пересекает их обе, поэтому прямые пересечения параллельны: проведём через точку \(F\) прямую, параллельную прямой \(NE\), то есть параллельную прямой \(B_1M\). Отрезки \(B_1K\) и \(MC\) равны половине ребра и лежат на параллельных прямых \(B_1C_1\) и \(BC\), поэтому \(B_1KCM\) — параллелограмм и \(KC \parallel B_1M\). В треугольнике \(C_1KC\) точка \(F\) — середина стороны \(C_1K\) (так как \(KF = \frac{1}{4}a\), а \(KC_1 = \frac{1}{2}a\)), а проведённая прямая параллельна стороне \(KC\), поэтому она пересекает сторону \(C_1C\) в её середине \(Q\), и \(FQ\) — линия пересечения плоскости \(\alpha\) с гранью \(BCC_1B_1\).

Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат грани \(DCC_1D_1\) и плоскости \(\alpha\), поэтому эта грань пересекается плоскостью \(\alpha\) по отрезку \(PQ\). Пятиугольник \(NEPQF\) — искомое сечение.

2) Точки \(K\) и \(F\) лежат на ребре \(B_1C_1\), причём \(B_1K = \frac{1}{2}a\) и \(KF = \frac{1}{4}a\).

Значит, \(B_1F = B_1K + KF = \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a = \frac{3}{4}a\) и \(FC_1 = B_1C_1 - B_1F = a - \frac{3}{4}a = \frac{1}{4}a\), поэтому \[B_1F : FC_1 = \frac{3}{4}a : \frac{1}{4}a = 3 : 1.\]

Ответ: сечение — пятиугольник \(NEPQF\); плоскость \(\alpha\) делит ребро \(B_1C_1\) в отношении \(B_1F : FC_1 = 3 : 1\).