Страница 70 номер 6.43, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
\(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\)
\(AD : BC = 2 : 1\)
\(M\) — середина \(AB\)
\(N \in AC_1\), \(MN \parallel BA_1D\)

Найти: отношение \(AN : NC_1\).

Решение:

Плоскости \(BA_1D\) и \(ABCD\) имеют общие точки \(B\) и \(D\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BD\) принадлежит каждой из них, а по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой. Значит, все их общие точки лежат на прямой \(BD\). Точка \(M\) лежит на отрезке \(AB\) и отлична от \(B\), поэтому она не принадлежит прямой \(BD\), а значит, и плоскости \(BA_1D\).

Обозначим через \(\beta\) плоскость, проходящую через точку \(M\) параллельно плоскости \(BA_1D\): через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна. Любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости, поэтому каждая прямая плоскости \(\beta\) параллельна плоскости \(BA_1D\). Все прямые, проходящие через точку \(M\) и параллельные плоскости \(BA_1D\), лежат в одной плоскости, и этой плоскостью является \(\beta\). Прямая \(MN\) — одна из таких прямых, поэтому точка \(N\) принадлежит плоскости \(\beta\).

Плоскость \(ABCD\) пересекает параллельные плоскости \(BA_1D\) и \(\beta\), а прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны. Значит, плоскость \(\beta\) пересекает плоскость \(ABCD\) по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(BD\). В треугольнике \(ABD\) эта прямая проходит через середину \(M\) стороны \(AB\) параллельно стороне \(BD\), поэтому она пересекает сторону \(AD\) в её середине; обозначим эту точку через \(P\). Тогда \(MP\) — средняя линия треугольника \(ABD\). Пусть \(K\) — точка пересечения прямой \(MP\) с диагональю \(AC\) трапеции.

Так как \(AD : BC = 2 : 1\) и \(AP = \frac{1}{2}AD\), то \(AP = BC\); кроме того, \(AP \parallel BC\). Значит, \(ABCP\) — параллелограмм, поэтому \(PC \parallel AB\) и \(PC = AB\). Углы \(MAK\) и \(PCK\) — накрест лежащие при параллельных прямых \(AB\) и \(PC\) и секущей \(AC\), углы \(AKM\) и \(CKP\) — вертикальные, поэтому треугольники \(AMK\) и \(CPK\) подобны и \[\frac{AK}{KC} = \frac{AM}{CP} = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{2}.\] Отсюда \(AK = \frac{1}{3}AC\).

Грань \(ABB_1A_1\) — параллелограмм, её плоскость пересекает плоскость \(BA_1D\) по прямой \(BA_1\) и пересекает параллельную ей плоскость \(\beta\). Значит, плоскость \(\beta\) пересекает плоскость грани \(ABB_1A_1\) по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(BA_1\). В треугольнике \(ABA_1\) эта прямая проходит через середину \(M\) стороны \(AB\) параллельно стороне \(BA_1\), поэтому она пересекает сторону \(AA_1\) в её середине; обозначим эту точку через \(S\). Тогда \(MS\) — средняя линия треугольника \(ABA_1\), а \(S\) — середина ребра \(AA_1\).

Боковые рёбра призмы параллельны и равны, поэтому \(AA_1C_1C\) — параллелограмм; значит, точки \(A\), \(C\), \(C_1\), \(A_1\) лежат в одной плоскости, причём \(AC \parallel A_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\). Точки \(K\) и \(S\) принадлежат плоскости \(\beta\) и плоскости \(ACC_1A_1\), поэтому прямая \(KS\) — линия пересечения этих плоскостей. Точка \(N\) лежит в плоскости \(\beta\) и на диагонали \(AC_1\), значит, \(N\) — точка пересечения прямой \(KS\) с диагональю \(AC_1\). Прямые \(KS\) и \(A_1C_1\) лежат в плоскости \(ACC_1A_1\) и не параллельны: прямая \(KS\) пересекает прямую \(AC\) в точке \(K\) и отлична от неё (точка \(S\) лежит на ребре \(AA_1\) и прямой \(AC\) не принадлежит), а прямая \(A_1C_1\) прямой \(AC\) параллельна. Значит, прямые \(KS\) и \(A_1C_1\) пересекаются; обозначим точку их пересечения через \(F\).

В треугольниках \(SAK\) и \(SA_1F\) имеем \(SA = SA_1\), углы \(ASK\) и \(A_1SF\) — вертикальные, а \(\angle SAK = \angle SA_1F\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(AC\) и \(A_1C_1\) и секущей \(AA_1\). Значит, эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, и \(A_1F = AK = \frac{1}{3}AC\). Точка \(F\) лежит на продолжении отрезка \(C_1A_1\) за точку \(A_1\), поэтому \[C_1F = C_1A_1 + A_1F = AC + \frac{1}{3}AC = \frac{4}{3}AC.\]

Углы \(ANK\) и \(C_1NF\) — вертикальные, а \(\angle NAK = \angle NC_1F\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(AC\) и \(A_1C_1\) и секущей \(AC_1\). Следовательно, треугольники \(NAK\) и \(NC_1F\) подобны, и, так как \(AK = \frac{1}{3}AC\), а \(C_1F = \frac{4}{3}AC\), \[\frac{AN}{NC_1} = \frac{AK}{C_1F} = \frac{1}{4}.\]

Ответ: \(AN : NC_1 = 1 : 4\).