Страница 70 номер 6.42, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
\(M \in AD\), \(AM : MD = 1 : 4\)
\(N \in CA_1\)
\(MN \parallel BC_1D\)

Найти: отношение \(CN : NA_1\).

Решение:

Плоскости \(BC_1D\) и \(ABCD\) имеют общие точки \(B\) и \(D\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BD\) принадлежит каждой из них, а по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой. Значит, все их общие точки лежат на прямой \(BD\). Точка \(M\) лежит на ребре \(AD\) и отлична от \(D\), поэтому она не принадлежит прямой \(BD\), а значит, и плоскости \(BC_1D\).

Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна. Обозначим через \(\beta\) плоскость, проходящую через точку \(M\) параллельно плоскости \(BC_1D\). Любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости, поэтому каждая прямая плоскости \(\beta\) параллельна плоскости \(BC_1D\). Все прямые, проходящие через точку \(M\) и параллельные плоскости \(BC_1D\), лежат в одной плоскости, и этой плоскостью является \(\beta\). Прямая \(MN\) проходит через точку \(M\) и параллельна плоскости \(BC_1D\), поэтому она лежит в плоскости \(\beta\), а точка \(N\) принадлежит плоскости \(\beta\).

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) квадрата \(ABCD\). Плоскость \(ABCD\) пересекает параллельные плоскости \(BC_1D\) и \(\beta\), а прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны. Значит, плоскость \(\beta\) пересекает плоскость \(ABCD\) по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(BD\). Эта прямая не параллельна прямой \(AC\) (иначе были бы параллельны прямые \(AC\) и \(BD\), которые пересекаются), поэтому она пересекает диагональ \(AC\) в некоторой точке \(K\).

В треугольнике \(ADO\) прямая \(MK\) параллельна стороне \(DO\), поэтому \(\frac{AK}{AO} = \frac{AM}{AD} = \frac{1}{5}\). Так как \(AO = \frac{1}{2}AC\), то \(AK = \frac{1}{10}AC\) и \(KC = \frac{9}{10}AC\). Кроме того, \[OK = AO - AK = \frac{1}{2}AC - \frac{1}{10}AC = \frac{2}{5}AC.\]

Грани куба — квадраты, поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\) и \(BB_1 \parallel CC_1\) как противоположные стороны граней \(ABB_1A_1\) и \(BCC_1B_1\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, \(AA_1 \parallel CC_1\). Вместе с равенством \(AA_1 = CC_1\) это даёт, что \(AA_1C_1C\) — параллелограмм, поэтому \(AC \parallel A_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\).

Точка \(O\) лежит на прямой \(BD\), поэтому плоскости \(ACC_1A_1\) и \(BC_1D\) имеют общие точки \(O\) и \(C_1\) и пересекаются по прямой \(OC_1\). Точка \(K\) лежит на прямой \(AC\), а значит, принадлежит плоскости \(ACC_1A_1\); кроме того, она лежит на прямой, по которой плоскость \(\beta\) пересекает плоскость \(ABCD\), а значит, принадлежит и плоскости \(\beta\). Поэтому плоскости \(ACC_1A_1\) и \(\beta\) тоже пересекаются. Плоскости \(BC_1D\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(ACC_1A_1\) пересекает каждую из них, поэтому прямые пересечения параллельны: плоскости \(ACC_1A_1\) и \(\beta\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(OC_1\). Точка \(N\) лежит в плоскости \(\beta\) и на диагонали \(CA_1\), значит, \(N\) — точка пересечения этой прямой с диагональю \(CA_1\). Прямые \(KN\) и \(A_1C_1\) лежат в плоскости \(ACC_1A_1\) и не параллельны: будь они параллельны, прямая \(OC_1\), параллельная прямой \(KN\), была бы параллельна и прямой \(A_1C_1\), а эти две прямые пересекаются в точке \(C_1\). Значит, прямые \(KN\) и \(A_1C_1\) пересекаются; обозначим точку их пересечения через \(F\).

В четырёхугольнике \(OKFC_1\) стороны \(KF\) и \(OC_1\) параллельны по построению, а стороны \(OK\) и \(C_1F\) лежат на параллельных прямых \(AC\) и \(A_1C_1\). Значит, \(OKFC_1\) — параллелограмм, поэтому \(C_1F = OK = \frac{2}{5}AC\) и \[A_1F = A_1C_1 - C_1F = AC - \frac{2}{5}AC = \frac{3}{5}AC = \frac{6}{10}AC.\]

Углы \(KNC\) и \(FNA_1\) — вертикальные, а \(\angle NCK = \angle NA_1F\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(AC\) и \(A_1C_1\) и секущей \(CA_1\). Следовательно, треугольники \(NKC\) и \(NFA_1\) подобны, и \[\frac{CN}{NA_1} = \frac{KC}{FA_1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.\]

Ответ: \(CN : NA_1 = 3 : 2\).