Страница 70 номер 6.41, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Боковые грани куба — квадраты, поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\) и \(BB_1 \parallel CC_1\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, \(AA_1 \parallel CC_1\). Вместе с \(AA_1 = CC_1\) это даёт, что \(AA_1C_1C\) — параллелограмм, поэтому \(AC \parallel A_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\).

Отметим на продолжении ребра \(B_1A_1\) за точку \(A_1\) точку \(X\) так, что \(A_1X = \frac{1}{2}A_1B_1\). Отрезки \(XA_1\) и \(MC_1\) лежат на параллельных прямых \(A_1B_1\) и \(D_1C_1\) (противоположные стороны квадрата \(A_1B_1C_1D_1\)) и равны: \(XA_1 = \frac{1}{2}A_1B_1 = \frac{1}{2}D_1C_1 = MC_1\). Значит, \(XA_1C_1M\) — параллелограмм, откуда \(XM \parallel A_1C_1\) и \(XM = A_1C_1\). Тогда \(XM \parallel AC\) и \(XM = AC\), поэтому \(AXMC\) — параллелограмм и \(AX \parallel CM\).

Точка \(X\) не лежит на прямой \(AC_1\): иначе прямая \(AC_1\) имела бы с плоскостью верхней грани две общие точки \(X\) и \(C_1\) и по аксиоме А4 лежала бы в этой плоскости, чего быть не может, ведь точка \(A\) этой плоскости не принадлежит. Значит, через прямую \(AC_1\) и точку \(X\) проходит плоскость \(AC_1X\).

Прямая \(CM\) в плоскости \(AC_1X\) не лежит. Если бы лежала, то плоскости \(AC_1X\) принадлежала бы и точка \(C\). Точки \(A\) и \(C\) принадлежат плоскости основания, а точка \(C_1\) ей не принадлежит, поэтому точки \(A\), \(C\) и \(C_1\) не лежат на одной прямой, и по аксиоме А3 через них проходит плоскость и притом только одна; значит, плоскость \(AC_1X\) совпадала бы с плоскостью \(ACC_1\). Но плоскость \(ACC_1\) содержит и точку \(A_1\) (ведь \(AA_1C_1C\) — параллелограмм), поэтому она пересекает плоскость верхней грани по прямой \(A_1C_1\). Точка \(X\) лежит на прямой \(A_1B_1\) и отлична от \(A_1\), поэтому прямой \(A_1C_1\) она не принадлежит, а значит, не принадлежит и плоскости \(ACC_1\): все общие точки этой плоскости и плоскости верхней грани лежат на прямой \(A_1C_1\). Но плоскости \(AC_1X\) точка \(X\) принадлежит, поэтому эти две плоскости различны, и предположение неверно.

Прямая \(AX\) лежит в плоскости \(AC_1X\) и \(CM \parallel AX\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(CM \parallel AC_1X\). Значит, плоскость \(AC_1X\) проходит через прямую \(AC_1\) и параллельна прямой \(CM\) — это искомая секущая плоскость.

Точки \(X\) и \(C_1\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости верхней грани. По аксиоме А4 прямая \(XC_1\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, секущая плоскость пересекает плоскость верхней грани по прямой \(XC_1\). Прямые \(XC_1\) и \(A_1D_1\) лежат в плоскости верхней грани и пересекаются: прямая \(B_1C_1\) параллельна прямой \(A_1D_1\) (противоположные стороны квадрата \(A_1B_1C_1D_1\)), и через точку \(C_1\) проходит только одна прямая, параллельная прямой \(A_1D_1\), то есть прямая \(B_1C_1\), а точка \(X\) ей не принадлежит — она лежит на прямой \(A_1B_1\) и отлична от \(B_1\). Обозначим общую точку прямых \(XC_1\) и \(A_1D_1\) через \(L\). Треугольники \(XA_1L\) и \(XB_1C_1\) подобны: угол при вершине \(X\) у них общий, а \(A_1L \parallel B_1C_1\) (точка \(L\) лежит на прямой \(A_1D_1\)). Поэтому \(\frac{A_1L}{B_1C_1} = \frac{XA_1}{XB_1} = \frac{1}{3}\), так как \(XB_1 = XA_1 + A_1B_1 = 3XA_1\); кроме того, точка \(L\) лежит на отрезке \(XC_1\), то есть по ту же сторону от прямой \(A_1B_1\), что и точка \(C_1\), — значит, на луче \(A_1D_1\). Отсюда \(A_1L = \frac{1}{3}B_1C_1 = \frac{1}{3}A_1D_1\): точка \(L\) лежит на ребре \(A_1D_1\), причём \(A_1L : LD_1 = 1 : 2\). Секущая плоскость пересекает верхнюю грань по отрезку \(LC_1\).

Точки \(A\) и \(L\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости грани \(ADD_1A_1\), поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(AL\).

Грани \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) параллельны: \(AD \parallel BC\) и \(AA_1 \parallel BB_1\) (противоположные стороны квадратов \(ABCD\) и \(ABB_1A_1\)), а прямые \(AD\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\), поэтому плоскости этих граней параллельны по признаку параллельности двух плоскостей. Прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны, поэтому секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по прямой, проходящей через точку \(C_1\) параллельно прямой \(AL\); эта прямая пересекает ребро \(BC\) в точке \(K\).

Грани \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) тоже параллельны: \(AB \parallel A_1B_1\) и \(AD \parallel A_1D_1\), а прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\). Концы \(A\) и \(K\) параллельных отрезков \(AL\) и \(KC_1\) лежат в плоскости грани \(ABCD\), а концы \(L\) и \(C_1\) — в плоскости грани \(A_1B_1C_1D_1\). Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны, поэтому \(KC_1 = AL\). Углы \(KCC_1\) и \(LA_1A\) прямые, так как грани куба — квадраты; катеты \(CC_1\) и \(A_1A\) равны как рёбра куба, а гипотенузы \(KC_1\) и \(LA\) равны. Значит, прямоугольные треугольники \(KCC_1\) и \(LA_1A\) равны по катету и гипотенузе, поэтому \(KC = A_1L = \frac{1}{3}BC\), то есть \(BK : KC = 2 : 1\).

Точки \(A\) и \(K\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, поэтому секущая плоскость пересекает грань \(ABCD\) по отрезку \(AK\). Значит, четырёхугольник \(AKC_1L\) — искомое сечение. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости оснований, поэтому \(AK \parallel LC_1\); вместе с \(AL \parallel KC_1\) это означает, что сечение — параллелограмм.

Ответ: сечение — параллелограмм \(AKC_1L\), где \(K\) — точка ребра \(BC\), для которой \(BK : KC = 2 : 1\), а \(L\) — точка ребра \(A_1D_1\), для которой \(A_1L : LD_1 = 1 : 2\).