Страница 70 номер 6.40, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Отрезки \(AB\) и \(A_1B_1\) параллельны и равны как противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\), а отрезки \(A_1B_1\) и \(D_1C_1\) — как противоположные стороны квадрата \(A_1B_1C_1D_1\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(AB \parallel D_1C_1\); кроме того, \(AB = A_1B_1 = D_1C_1\). Значит, четырёхугольник \(ABC_1D_1\) — параллелограмм и \(AD_1 \parallel BC_1\).

Отметим на луче \(CB\) за точкой \(B\) точку \(M\) так, что \(BM = BC\). Отрезки \(MB\) и \(B_1C_1\) лежат на параллельных прямых \(BC\) и \(B_1C_1\) (противоположные стороны квадрата \(BCC_1B_1\)) и равны, так как \(BM = BC = B_1C_1\). Значит, четырёхугольник \(MBC_1B_1\) — параллелограмм и \(MB_1 \parallel BC_1\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(MB_1 \parallel AD_1\).

Точки \(D\) и \(M\) принадлежат плоскости основания, а точка \(B_1\) ей не принадлежит, поэтому эти три точки не лежат на одной прямой и по аксиоме А3 задают плоскость \(DMB_1\). По аксиоме А4 прямая \(DB_1\) лежит в этой плоскости.

Прямая \(AD_1\) в плоскости \(DMB_1\) не лежит. Действительно, плоскости \(DMB_1\) и \(ABC\) имеют общие точки \(D\) и \(M\). По аксиоме А4 прямая \(DM\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, \(ABC \cap DMB_1 = DM\). Если бы точка \(A\) принадлежала плоскости \(DMB_1\), она лежала бы на прямой \(DM\), и тогда прямые \(DM\) и \(AD\) совпадали бы, то есть точка \(M\) принадлежала бы прямой \(AD\). Но \(M\) лежит на прямой \(BC\), а прямые \(AD\) и \(BC\) параллельны и различны, общих точек они не имеют. Значит, \(A \notin DMB_1\).

Прямая \(MB_1\) лежит в плоскости \(DMB_1\) и \(AD_1 \parallel MB_1\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(AD_1 \parallel DMB_1\). Значит, плоскость \(DMB_1\) проходит через прямую \(DB_1\) и параллельна прямой \(AD_1\) — это искомая секущая плоскость.

Секущая плоскость пересекает плоскость основания по прямой \(DM\). В четырёхугольнике \(ADBM\) стороны \(AD\) и \(MB\) параллельны (прямые \(AD\) и \(BC\) параллельны как противоположные стороны квадрата \(ABCD\)) и равны (\(AD = BC = BM\)), значит, \(ADBM\) — параллелограмм. Его диагонали \(AB\) и \(DM\) точкой пересечения делятся пополам, поэтому прямая \(DM\) пересекает ребро \(AB\) в его середине — точке \(P\). Следовательно, секущая плоскость пересекает грань \(ABCD\) по отрезку \(DP\).

Точки \(P\) и \(B_1\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости грани \(ABB_1A_1\), поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(PB_1\).

Прямые \(AB\) и \(D_1C_1\) параллельны, поэтому через них проходит плоскость \(ABC_1D_1\), и прямая \(AD_1\) лежит в этой плоскости. Плоскость \(ABC_1D_1\) проходит через прямую \(AD_1\), параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость (точка \(P\) — их общая точка). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(ABC_1D_1\) по прямой, которая проходит через точку \(P\) параллельно прямой \(AD_1\). Точка \(P\) — середина стороны \(AB\) параллелограмма \(ABC_1D_1\), то есть её внутренняя точка, поэтому прямая, проведённая через \(P\) параллельно стороне \(AD_1\), пересекает противоположную сторону \(D_1C_1\) в некоторой точке \(Q\). В четырёхугольнике \(APQD_1\) стороны \(AP\) и \(D_1Q\) лежат на параллельных прямых \(AB\) и \(D_1C_1\), а \(PQ \parallel AD_1\), поэтому \(APQD_1\) — параллелограмм и \(D_1Q = AP = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}D_1C_1\). Следовательно, \(Q\) — середина ребра \(C_1D_1\).

Точки \(B_1\) и \(Q\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости грани \(A_1B_1C_1D_1\), поэтому секущая плоскость пересекает верхнюю грань по отрезку \(B_1Q\); точки \(Q\) и \(D\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости грани \(DCC_1D_1\), поэтому она пересекает эту грань по отрезку \(QD\). Значит, четырёхугольник \(DPB_1Q\) — искомое сечение.

Грани \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) параллельны: \(AB \parallel A_1B_1\) и \(AD \parallel A_1D_1\) как противоположные стороны квадратов \(ABB_1A_1\) и \(ADD_1A_1\), а прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\), поэтому плоскости этих граней параллельны по признаку параллельности двух плоскостей. Так же параллельны грани \(ABB_1A_1\) и \(DCC_1D_1\): \(AB \parallel DC\) и \(AA_1 \parallel DD_1\), а прямые \(AB\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\). Секущая плоскость пересекает обе пары параллельных плоскостей, а прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны. Поэтому \(DP \parallel B_1Q\) и \(PB_1 \parallel DQ\), то есть сечение \(DPB_1Q\) — параллелограмм.

Ответ: сечение — параллелограмм \(DPB_1Q\), где \(P\) — середина ребра \(AB\), \(Q\) — середина ребра \(C_1D_1\).