Страница 70 номер 6.39, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) таковы, что \(AB \parallel DE\), \(BC \parallel EF\), \(CD \parallel FA\). Известно, что не все указанные точки принадлежат одной плоскости. Докажите, что \(AB = DE\), \(BC = EF\), \(CD = FA\).
Прямые \(AB\) и \(DE\) параллельны, поэтому они различны и не имеют общих точек; то же верно для прямых \(BC\) и \(EF\), \(CD\) и \(FA\).
Докажем, что никакие три точки, стоящие подряд в записи \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) (за точкой \(F\) снова идут \(A\) и \(B\)), не лежат на одной прямой. Пусть, например, точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой. Тогда прямые \(AB\) и \(BC\) совпадают, а значит, каждая из прямых \(DE\) и \(EF\) параллельна прямой \(AB\). Точка \(E\) не принадлежит прямой \(AB\), а через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной, поэтому прямые \(DE\) и \(EF\) совпадают и точки \(D\), \(E\) и \(F\) тоже лежат на одной прямой. Тогда плоскость, проходящая через параллельные прямые \(AB\) и \(DE\), содержит все шесть данных точек, что противоречит условию. Такое же рассуждение годится для любых трёх стоящих подряд точек, поэтому по аксиоме А3 каждая из троек \(A\), \(B\), \(C\); \(B\), \(C\), \(D\); \(C\), \(D\), \(E\); \(D\), \(E\), \(F\); \(E\), \(F\), \(A\); \(F\), \(A\), \(B\) задаёт плоскость.
Плоскости \(ABC\) и \(DEF\) различны: если бы они совпадали, все шесть точек лежали бы в одной плоскости. Прямые \(AB\) и \(BC\) лежат в плоскости \(ABC\) и пересекаются в точке \(B\), прямые \(DE\) и \(EF\) лежат в плоскости \(DEF\), причём \(AB \parallel DE\) и \(BC \parallel EF\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей \(ABC \parallel DEF\).
Параллельные прямые \(CD\) и \(FA\) задают плоскость \(\gamma\). Точки \(A\) и \(C\) принадлежат и плоскости \(ABC\), и плоскости \(\gamma\). По аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, \(ABC \cap \gamma = AC\). Так же \(DEF \cap \gamma = DF\). Прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны, поэтому \(AC \parallel DF\). В четырёхугольнике \(ACDF\) противоположные стороны попарно параллельны (\(AC \parallel FD\) и \(CD \parallel AF\)), значит, \(ACDF\) — параллелограмм и \(CD = FA\).
Так же \(BCD \parallel EFA\): прямые \(BC\) и \(CD\) лежат в плоскости \(BCD\) и пересекаются в точке \(C\), прямые \(EF\) и \(FA\) лежат в плоскости \(EFA\), причём \(BC \parallel EF\) и \(CD \parallel FA\), а совпадать эти плоскости не могут, иначе все шесть точек лежали бы в одной плоскости. Плоскость параллельных прямых \(AB\) и \(DE\) пересекает плоскость \(BCD\) по прямой \(BD\), а плоскость \(EFA\) — по прямой \(AE\), поэтому \(BD \parallel AE\). В четырёхугольнике \(ABDE\) противоположные стороны попарно параллельны, значит, \(ABDE\) — параллелограмм и \(AB = DE\).
Так же \(CDE \parallel FAB\): прямые \(CD\) и \(DE\) лежат в плоскости \(CDE\) и пересекаются в точке \(D\), прямые \(FA\) и \(AB\) лежат в плоскости \(FAB\), причём \(CD \parallel FA\) и \(DE \parallel AB\). Плоскость параллельных прямых \(BC\) и \(EF\) пересекает плоскость \(CDE\) по прямой \(CE\), а плоскость \(FAB\) — по прямой \(BF\), поэтому \(CE \parallel BF\). Значит, четырёхугольник \(BCEF\) — параллелограмм и \(BC = EF\).
Ответ: \(AB = DE\), \(BC = EF\), \(CD = FA\).
Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) таковы, что \(AB \parallel DE\), \(BC \parallel EF\), \(CD \parallel FA\). Известно, что не все указанные точки принадлежат одной плоскости. Докажите, что \(AB = DE\), \(BC = EF\), \(CD = FA\).
Прямые \(AB\) и \(DE\) параллельны, поэтому они различны и не имеют общих точек; то же верно для прямых \(BC\) и \(EF\), \(CD\) и \(FA\).
Докажем, что никакие три точки, стоящие подряд в записи \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) (за точкой \(F\) снова идут \(A\) и \(B\)), не лежат на одной прямой. Пусть, например, точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой. Тогда прямые \(AB\) и \(BC\) совпадают, а значит, каждая из прямых \(DE\) и \(EF\) параллельна прямой \(AB\). Точка \(E\) не принадлежит прямой \(AB\), а через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Значит, прямые \(DE\) и \(EF\) совпадают, то есть точки \(D\), \(E\) и \(F\) тоже лежат на одной прямой. Через две параллельные прямые \(AB\) и \(DE\) проходит плоскость, и в этой плоскости оказываются все шесть данных точек, что противоречит условию. Такое же рассуждение годится для любых трёх стоящих подряд точек, поэтому ни одна из троек \(A\), \(B\), \(C\); \(B\), \(C\), \(D\); \(C\), \(D\), \(E\); \(D\), \(E\), \(F\); \(E\), \(F\), \(A\); \(F\), \(A\), \(B\) не лежит на одной прямой, и по аксиоме А3 каждая из них задаёт плоскость.
Докажем, что \(CD = FA\). Плоскости \(ABC\) и \(DEF\) различны: если бы они совпадали, все шесть точек лежали бы в одной плоскости. Прямые \(AB\) и \(BC\) лежат в плоскости \(ABC\) и пересекаются в точке \(B\), прямые \(DE\) и \(EF\) лежат в плоскости \(DEF\), причём \(AB \parallel DE\) и \(BC \parallel EF\). По признаку параллельности двух плоскостей \(ABC \parallel DEF\).
Параллельные прямые \(CD\) и \(FA\) задают плоскость \(\gamma\). Точки \(A\) и \(C\) принадлежат и плоскости \(ABC\), и плоскости \(\gamma\). По аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, \(ABC \cap \gamma = AC\). Так же \(DEF \cap \gamma = DF\). Прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны, поэтому \(AC \parallel DF\). В четырёхугольнике \(ACDF\) противоположные стороны попарно параллельны (\(AC \parallel FD\) и \(CD \parallel AF\)), значит, \(ACDF\) — параллелограмм. Отсюда \(CD = FA\).
Докажем, что \(AB = DE\). Прямые \(BC\) и \(CD\) лежат в плоскости \(BCD\) и пересекаются в точке \(C\), прямые \(EF\) и \(FA\) лежат в плоскости \(EFA\), причём \(BC \parallel EF\) и \(CD \parallel FA\). Плоскости \(BCD\) и \(EFA\) различны, иначе все шесть точек лежали бы в одной плоскости, поэтому по признаку параллельности двух плоскостей \(BCD \parallel EFA\). Параллельные прямые \(AB\) и \(DE\) задают плоскость, которая пересекает плоскость \(BCD\) по прямой \(BD\), а плоскость \(EFA\) — по прямой \(AE\). Две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, поэтому \(BD \parallel AE\). В четырёхугольнике \(ABDE\) противоположные стороны попарно параллельны, значит, \(ABDE\) — параллелограмм и \(AB = DE\).
Докажем, что \(BC = EF\). Прямые \(CD\) и \(DE\) лежат в плоскости \(CDE\) и пересекаются в точке \(D\), прямые \(FA\) и \(AB\) лежат в плоскости \(FAB\), причём \(CD \parallel FA\) и \(DE \parallel AB\). Плоскости \(CDE\) и \(FAB\) различны, иначе все шесть точек лежали бы в одной плоскости, поэтому по признаку параллельности двух плоскостей \(CDE \parallel FAB\). Параллельные прямые \(BC\) и \(EF\) задают плоскость, которая пересекает плоскость \(CDE\) по прямой \(CE\), а плоскость \(FAB\) — по прямой \(BF\). Значит, \(CE \parallel BF\), четырёхугольник \(BCEF\) — параллелограмм и \(BC = EF\).
Ответ: \(AB = DE\), \(BC = EF\), \(CD = FA\).
