Страница 65 номер 6.3, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины рёбер \(AB\), \(AC\) и \(AD\) тетраэдра \(DABC\). Докажите, что плоскости \(MNK\) и \(BCD\) параллельны.
Отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), значит, \(MN \parallel BC\). Отрезок \(MK\) — средняя линия треугольника \(ABD\), значит, \(MK \parallel BD\).
Прямые \(MN\) и \(MK\) различны: точка \(K\) не принадлежит плоскости \(ABC\), ведь иначе прямая \(AD\), имеющая с этой плоскостью две общие точки \(A\) и \(K\), по аксиоме А4 целиком лежала бы в плоскости \(ABC\) и вершина \(D\) оказалась бы в этой плоскости. Следовательно, прямые \(MN\) и \(MK\) пересекаются в точке \(M\).
Пересекающиеся прямые \(MN\) и \(MK\) лежат в плоскости \(MNK\), прямые \(BC\) и \(BD\) — в плоскости \(BCD\), причём \(MN \parallel BC\) и \(MK \parallel BD\). По признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(MNK\) и \(BCD\) параллельны.
Ответ: плоскости \(MNK\) и \(BCD\) параллельны.
Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины рёбер \(AB\), \(AC\) и \(AD\) тетраэдра \(DABC\). Докажите, что плоскости \(MNK\) и \(BCD\) параллельны.
Отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), так как \(M\) — середина стороны \(AB\), а \(N\) — середина стороны \(AC\). Значит, \(MN \parallel BC\).
Отрезок \(MK\) — средняя линия треугольника \(ABD\), так как \(M\) — середина стороны \(AB\), а \(K\) — середина стороны \(AD\). Значит, \(MK \parallel BD\).
Точка \(K\) не принадлежит плоскости \(ABC\): иначе прямая \(AD\), имеющая с этой плоскостью две общие точки \(A\) и \(K\), по аксиоме А4 целиком лежала бы в плоскости \(ABC\) и вершина \(D\) оказалась бы в этой плоскости. Прямая же \(MN\) в плоскости \(ABC\) лежит: её точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\). Значит, точка \(K\) прямой \(MN\) не принадлежит, прямые \(MN\) и \(MK\) различны и потому пересекаются в точке \(M\).
Пересекающиеся прямые \(MN\) и \(MK\) лежат в плоскости \(MNK\), прямые \(BC\) и \(BD\) — в плоскости \(BCD\), причём \(MN \parallel BC\) и \(MK \parallel BD\). По признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(MNK\) и \(BCD\) параллельны.
Ответ: плоскости \(MNK\) и \(BCD\) параллельны.
