Страница 70 номер 6.38, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) таковы, что \(AB \parallel DE\), \(BC \parallel EF\), \(CD \parallel FA\) и \(AB \ne DE\). Докажите, что данные точки лежат в одной плоскости.
Если точки \(B\), \(C\) и \(D\) лежат на одной прямой, то прямые \(BC\) и \(CD\) совпадают. Прямая \(EF\) параллельна прямой \(BC\), поэтому точка \(F\) прямой \(BC\) не принадлежит. Прямые \(EF\) и \(FA\) проходят через точку \(F\) и параллельны прямой \(BC\), а через точку \(F\) проходит только одна прямая, параллельная прямой \(BC\). Значит, прямые \(EF\) и \(FA\) совпадают, то есть точки \(A\), \(E\) и \(F\) лежат на одной прямой, параллельной прямой \(BC\). Через две параллельные прямые проходит плоскость, и в этой плоскости лежат все шесть точек. Так же разбирается случай, когда на одной прямой лежат точки \(A\), \(E\) и \(F\).
Пусть точки \(B\), \(C\) и \(D\) не лежат на одной прямой и точки \(A\), \(E\) и \(F\) не лежат на одной прямой. Тогда по аксиоме А3 через каждую из этих троек проходит только одна плоскость — плоскость \(BCD\) и плоскость \(AEF\).
Предположим, что не все шесть точек лежат в одной плоскости. Тогда плоскости \(BCD\) и \(AEF\) различны. Прямые \(BC\) и \(CD\) лежат в плоскости \(BCD\) и пересекаются в точке \(C\); прямые \(EF\) и \(FA\) лежат в плоскости \(AEF\) и пересекаются в точке \(F\), причём \(BC \parallel EF\) и \(CD \parallel FA\). По признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(BCD\) и \(AEF\) параллельны.
Прямые \(AB\) и \(DE\) параллельны, поэтому через них проходит плоскость; обозначим её \(\gamma\). Параллельные плоскости общих точек не имеют, поэтому точка \(B\) не принадлежит плоскости \(AEF\), а точка \(A\) — плоскости \(BCD\), и плоскость \(\gamma\) отлична от каждой из них. Плоскость \(\gamma\) имеет с плоскостью \(AEF\) две общие точки \(A\) и \(E\), а с плоскостью \(BCD\) — две общие точки \(B\) и \(D\), поэтому пересекает их по прямым \(AE\) и \(BD\). Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны, поэтому \(AE \parallel BD\). В четырёхугольнике \(ABDE\) противоположные стороны попарно параллельны: \(AB \parallel ED\) и \(AE \parallel BD\). Следовательно, \(ABDE\) — параллелограмм, и \(AB = DE\).
Равенство \(AB = DE\) противоречит условию \(AB \ne DE\). Значит, предположение неверно, и все шесть точек лежат в одной плоскости.
Ответ: точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) лежат в одной плоскости.
Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) таковы, что \(AB \parallel DE\), \(BC \parallel EF\), \(CD \parallel FA\) и \(AB \ne DE\). Докажите, что данные точки лежат в одной плоскости.
Если точки \(B\), \(C\) и \(D\) лежат на одной прямой, то прямые \(BC\) и \(CD\) совпадают. Прямая \(EF\) параллельна прямой \(BC\), поэтому общих точек с ней не имеет, и точка \(F\) прямой \(BC\) не принадлежит. Прямые \(EF\) и \(FA\) проходят через точку \(F\) и параллельны прямой \(BC\), а через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Значит, прямые \(EF\) и \(FA\) совпадают, то есть точки \(A\), \(E\) и \(F\) лежат на одной прямой, параллельной прямой \(BC\). Через две параллельные прямые проходит плоскость, и в этой плоскости лежат все шесть точек. Так же разбирается случай, когда на одной прямой лежат точки \(A\), \(E\) и \(F\).
Пусть точки \(B\), \(C\) и \(D\) не лежат на одной прямой и точки \(A\), \(E\) и \(F\) не лежат на одной прямой. Тогда по аксиоме А3 через каждую из этих троек проходит плоскость и притом только одна — плоскость \(BCD\) и плоскость \(AEF\).
Предположим, что не все шесть точек лежат в одной плоскости. Тогда плоскости \(BCD\) и \(AEF\) различны.
Прямые \(BC\) и \(CD\) лежат в плоскости \(BCD\) и пересекаются в точке \(C\); прямые \(EF\) и \(FA\) лежат в плоскости \(AEF\) и пересекаются в точке \(F\), причём \(BC \parallel EF\) и \(CD \parallel FA\). По признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(BCD\) и \(AEF\) параллельны.
Прямые \(AB\) и \(DE\) параллельны, поэтому через них проходит плоскость; обозначим её \(\gamma\). Параллельные плоскости общих точек не имеют, поэтому точка \(B\) не принадлежит плоскости \(AEF\), а точка \(A\) — плоскости \(BCD\); значит, плоскость \(\gamma\) отлична от каждой из них. Плоскости \(\gamma\) и \(AEF\) имеют две общие точки \(A\) и \(E\), поэтому они пересекаются по прямой \(AE\); плоскости \(\gamma\) и \(BCD\) имеют две общие точки \(B\) и \(D\), поэтому они пересекаются по прямой \(BD\). Прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны, поэтому \(AE \parallel BD\). В четырёхугольнике \(ABDE\) противоположные стороны попарно параллельны: \(AB \parallel ED\) и \(AE \parallel BD\). Следовательно, \(ABDE\) — параллелограмм, и \(AB = DE\).
Равенство \(AB = DE\) противоречит условию \(AB \ne DE\). Значит, предположение неверно, и все шесть точек лежат в одной плоскости.
Ответ: точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) лежат в одной плоскости.
