Страница 70 номер 6.37, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) — середина ребра \(AD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) содержат соответственно прямые \(A_1M\) и \(D_1C\). Постройте сечения куба плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\).
Прямая \(A_1M\) лежит в плоскости грани \(ADD_1A_1\), а прямая \(D_1C\) — в плоскости грани \(DCC_1D_1\).
Противоположные стороны квадрата \(ADD_1A_1\) дают \(A_1D_1 \parallel AD\) и \(A_1D_1 = AD\), противоположные стороны квадрата \(ABCD\) — \(AD \parallel BC\) и \(AD = BC\), поэтому \(A_1D_1 \parallel BC\) и \(A_1D_1 = BC\). Через параллельные прямые \(A_1D_1\) и \(BC\) проходит плоскость, и в этой плоскости четырёхугольник \(A_1BCD_1\) — параллелограмм, так как его противоположные стороны \(A_1D_1\) и \(BC\) параллельны и равны. Следовательно, \(A_1B \parallel D_1C\).
Прямая \(D_1C\) лежит в плоскости \(\beta\), параллельной плоскости \(\alpha\), поэтому \(D_1C \parallel \alpha\). Плоскость \(A_1BCD_1\) содержит прямую \(D_1C\), у которой с плоскостью \(\alpha\) общих точек нет, поэтому эта плоскость не совпадает с плоскостью \(\alpha\); точка \(A_1\) принадлежит им обеим, значит, они пересекаются по прямой, параллельной прямой \(D_1C\) и проходящей через точку \(A_1\). Такая прямая единственна — это прямая \(A_1B\), значит, прямая \(A_1B\) лежит в плоскости \(\alpha\).
Точка \(B\) не принадлежит плоскости грани \(ADD_1A_1\), в которой лежит прямая \(A_1M\), поэтому прямые \(A_1M\) и \(A_1B\) различны и пересекаются в точке \(A_1\). Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна, поэтому \(\alpha\) — плоскость \(A_1BM\).
Точки \(A_1\) и \(M\) принадлежат грани \(ADD_1A_1\), точки \(A_1\) и \(B\) — грани \(ABB_1A_1\), точки \(M\) и \(B\) — грани \(ABCD\), поэтому плоскость \(\alpha\) пересекает эти грани по отрезкам \(A_1M\), \(A_1B\) и \(MB\). Значит, треугольник \(A_1BM\) — искомое сечение куба плоскостью \(\alpha\).
Точка \(C\) лежит в плоскости \(\beta\), поэтому не принадлежит плоскости \(\alpha\). Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна, поэтому \(\beta\) — единственная плоскость, проходящая через точку \(C\) параллельно плоскости \(\alpha\).
Пусть \(T\) — середина ребра \(BC\), а \(N\) — середина ребра \(B_1C_1\). Отрезки \(AM\) и \(BT\) — половины параллельных и равных сторон \(AD\) и \(BC\) квадрата \(ABCD\), поэтому четырёхугольник \(ABTM\) — параллелограмм, откуда \(MT \parallel AB\) и \(MT = AB\). Стороны \(A_1B_1\) и \(AB\) квадрата \(ABB_1A_1\) параллельны и равны, поэтому \(MT \parallel A_1B_1\) и \(MT = A_1B_1\), четырёхугольник \(A_1B_1TM\) — параллелограмм, откуда \(A_1M \parallel B_1T\). Так же отрезки \(B_1N\) и \(TC\) — половины параллельных и равных сторон \(B_1C_1\) и \(BC\) квадрата \(BCC_1B_1\), поэтому четырёхугольник \(B_1TCN\) — параллелограмм, откуда \(B_1T \parallel CN\). Значит, \(CN \parallel A_1M\).
Прямые \(CD_1\) и \(CN\) пересекаются в точке \(C\) и различны: точка \(N\) не принадлежит плоскости грани \(DCC_1D_1\), которой принадлежит прямая \(CD_1\). При этом \(CD_1 \parallel A_1B\), \(CN \parallel A_1M\), а прямые \(A_1B\) и \(A_1M\) лежат в плоскости \(\alpha\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей плоскость \(CD_1N\) параллельна плоскости \(\alpha\). Эта плоскость проходит через точку \(C\), поэтому она и есть плоскость \(\beta\).
Точки \(C\) и \(D_1\) принадлежат грани \(DCC_1D_1\), точки \(C\) и \(N\) — грани \(BCC_1B_1\), точки \(D_1\) и \(N\) — грани \(A_1B_1C_1D_1\), поэтому плоскость \(\beta\) пересекает эти грани по отрезкам \(CD_1\), \(CN\) и \(D_1N\). Значит, треугольник \(CD_1N\) — искомое сечение куба плоскостью \(\beta\).
Ответ: сечение куба плоскостью \(\alpha\) — треугольник \(A_1BM\); сечение куба плоскостью \(\beta\) — треугольник \(CD_1N\), где \(N\) — середина ребра \(B_1C_1\).
Точка \(M\) — середина ребра \(AD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) содержат соответственно прямые \(A_1M\) и \(D_1C\). Постройте сечения куба плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\).
Прямая \(A_1M\) лежит в плоскости грани \(ADD_1A_1\), а прямая \(D_1C\) — в плоскости грани \(DCC_1D_1\).
Отрезки \(A_1D_1\) и \(AD\) — противоположные стороны квадрата \(ADD_1A_1\), поэтому \(A_1D_1 \parallel AD\) и \(A_1D_1 = AD\); отрезки \(AD\) и \(BC\) — противоположные стороны квадрата \(ABCD\), поэтому \(AD \parallel BC\) и \(AD = BC\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, \(A_1D_1 \parallel BC\) и \(A_1D_1 = BC\). Через параллельные прямые \(A_1D_1\) и \(BC\) проходит плоскость, и в этой плоскости четырёхугольник \(A_1BCD_1\) — параллелограмм, так как его противоположные стороны \(A_1D_1\) и \(BC\) параллельны и равны. Следовательно, \(A_1B \parallel D_1C\).
Прямая \(D_1C\) лежит в плоскости \(\beta\), а плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, поэтому \(D_1C \parallel \alpha\): любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости. Плоскость \(A_1BCD_1\) содержит прямую \(D_1C\), у которой с плоскостью \(\alpha\) общих точек нет, поэтому эта плоскость не совпадает с плоскостью \(\alpha\); точка \(A_1\) принадлежит им обеим, значит, они пересекаются. Плоскость \(A_1BCD_1\) проходит через прямую \(D_1C\), параллельную плоскости \(\alpha\), поэтому прямая пересечения этих плоскостей параллельна прямой \(D_1C\); она проходит через точку \(A_1\). Через точку \(A_1\) проходит только одна прямая, параллельная прямой \(D_1C\), и это прямая \(A_1B\). Значит, прямая \(A_1B\) лежит в плоскости \(\alpha\).
Точка \(B\) не принадлежит плоскости грани \(ADD_1A_1\), в которой лежит прямая \(A_1M\), поэтому прямые \(A_1M\) и \(A_1B\) различны и пересекаются в точке \(A_1\). Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна, поэтому \(\alpha\) — плоскость \(A_1BM\).
Точки \(A_1\) и \(M\) принадлежат грани \(ADD_1A_1\), точки \(A_1\) и \(B\) — грани \(ABB_1A_1\), точки \(M\) и \(B\) — грани \(ABCD\), поэтому плоскость \(\alpha\) пересекает эти грани по отрезкам \(A_1M\), \(A_1B\) и \(MB\). Значит, треугольник \(A_1BM\) — искомое сечение куба плоскостью \(\alpha\).
Точка \(C\) не принадлежит плоскости \(\alpha\): она лежит в плоскости \(\beta\), а параллельные плоскости общих точек не имеют. Через точку в пространстве, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна, поэтому \(\beta\) — единственная плоскость, проходящая через точку \(C\) параллельно плоскости \(\alpha\).
Пусть \(T\) — середина ребра \(BC\), а \(N\) — середина ребра \(B_1C_1\). Отрезки \(AM\) и \(BT\) — половины параллельных и равных сторон \(AD\) и \(BC\) квадрата \(ABCD\), поэтому \(AM \parallel BT\) и \(AM = BT\), а четырёхугольник \(ABTM\) — параллелограмм, откуда \(MT \parallel AB\) и \(MT = AB\). Стороны \(A_1B_1\) и \(AB\) квадрата \(ABB_1A_1\) параллельны и равны, поэтому \(MT \parallel A_1B_1\) и \(MT = A_1B_1\), а четырёхугольник \(A_1B_1TM\) — параллелограмм, откуда \(A_1M \parallel B_1T\). Отрезки \(B_1N\) и \(TC\) — половины параллельных и равных сторон \(B_1C_1\) и \(BC\) квадрата \(BCC_1B_1\), поэтому \(B_1N \parallel TC\) и \(B_1N = TC\), а четырёхугольник \(B_1TCN\) — параллелограмм, откуда \(B_1T \parallel CN\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, \(CN \parallel A_1M\).
Прямые \(CD_1\) и \(CN\) пересекаются в точке \(C\), и они различны: точка \(N\) не принадлежит плоскости грани \(DCC_1D_1\), которой принадлежит прямая \(CD_1\). При этом \(CD_1 \parallel A_1B\), \(CN \parallel A_1M\), а прямые \(A_1B\) и \(A_1M\) лежат в плоскости \(\alpha\). По признаку параллельности двух плоскостей плоскость \(CD_1N\) параллельна плоскости \(\alpha\), а проходит она через точку \(C\), поэтому эта плоскость и есть плоскость \(\beta\).
Точки \(C\) и \(D_1\) принадлежат грани \(DCC_1D_1\), точки \(C\) и \(N\) — грани \(BCC_1B_1\), точки \(D_1\) и \(N\) — грани \(A_1B_1C_1D_1\), поэтому плоскость \(\beta\) пересекает эти грани по отрезкам \(CD_1\), \(CN\) и \(D_1N\). Значит, треугольник \(CD_1N\) — искомое сечение куба плоскостью \(\beta\).
Ответ: сечение куба плоскостью \(\alpha\) — треугольник \(A_1BM\); сечение куба плоскостью \(\beta\) — треугольник \(CD_1N\), где \(N\) — середина ребра \(B_1C_1\).
