Страница 70 номер 6.36, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(M\) и \(N\) — середины соответственно рёбер \(BC\) и \(AD\) тетраэдра \(DABC\). Параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) содержат соответственно прямые \(AM\) и \(BN\). Постройте сечения тетраэдра плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\).
Прямая \(AM\) лежит в плоскости \(ABC\), а точка \(N\) — середина ребра \(AD\) — этой плоскости не принадлежит: иначе ей принадлежала бы прямая \(AN\), а вместе с ней и вершина \(D\). Значит, прямая \(BN\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(B\). Точка \(B\) не лежит на прямой \(AM\): иначе прямая \(AM\) совпала бы с прямой \(BM\), то есть с прямой \(BC\), и вершина \(A\) лежала бы на прямой \(BC\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(AM\) и \(BN\) скрещиваются, поэтому никакая плоскость не содержит их обе, и плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны.
Прямая \(BN\) лежит в плоскости \(\beta\), параллельной плоскости \(\alpha\), поэтому \(BN \parallel \alpha\).
Точки \(B\), \(C\) и \(N\) не лежат на одной прямой и задают плоскость \(BCN\); точка \(M\) лежит на прямой \(BC\), поэтому она принадлежит плоскости \(BCN\), и при этом \(M \in \alpha\). Прямая \(BN\) не имеет с плоскостью \(\alpha\) общих точек, поэтому плоскость \(BCN\) не совпадает с плоскостью \(\alpha\); точка \(M\) принадлежит им обеим, значит, они пересекаются. Плоскость \(BCN\) проходит через прямую \(BN\), параллельную плоскости \(\alpha\), поэтому прямая пересечения этих плоскостей параллельна прямой \(BN\) и проходит через точку \(M\). Точка \(M\) — середина стороны \(BC\) треугольника \(BCN\), поэтому эта прямая пересекает сторону \(CN\) в её середине — точке \(K\), причём \(MK \parallel BN\) и \(K \in \alpha\).
Точки \(C\) и \(N\) принадлежат плоскости \(ACD\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(CN\) лежит в этой плоскости, а вместе с ней и точка \(K\). Точки \(A\) и \(K\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(ACD\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AK\) — линия их пересечения. Точка \(N\) лежит между точками \(A\) и \(D\), а точка \(K\) — между точками \(C\) и \(N\), значит, \(K\) — внутренняя точка треугольника \(ACD\) и луч \(AK\) пересекает сторону \(CD\) в некоторой точке \(L\).
Проведём в треугольнике \(ACD\) через точку \(N\) прямую, параллельную прямой \(CD\); она пересекает отрезок \(AL\) в точке \(S\). В треугольнике \(ADL\) отрезок \(NS\) — средняя линия, поэтому \(NS = \frac{1}{2}DL\). В треугольниках \(NKS\) и \(CKL\) углы при вершине \(K\) вертикальные, углы \(KNS\) и \(KCL\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(NS\) и \(CL\) и секущей \(NC\), а \(NK = KC\), поэтому эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, \(CL = NS = \frac{1}{2}DL\), то есть \(CL : LD = 1 : 2\).
Плоскость \(\alpha\) пересекает грань \(ABC\) по отрезку \(AM\), грань \(ACD\) — по отрезку \(AL\), грань \(BCD\) — по отрезку \(ML\), а с гранью \(ABD\) имеет единственную общую точку \(A\). Значит, сечение тетраэдра плоскостью \(\alpha\) — треугольник \(AML\).
Плоскость \(\beta\) содержит прямую \(BN\), поэтому точка \(N\) принадлежит плоскости \(\beta\); она лежит на ребре \(AD\), поэтому принадлежит и плоскости \(ACD\). Вершина \(B\) плоскости \(ACD\) не принадлежит, а плоскости \(\beta\) принадлежит, поэтому плоскости \(ACD\) и \(\beta\) не совпадают, а общая точка \(N\) у них есть — значит, они пересекаются. Плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость \(ACD\) по прямой \(AL\). Прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны, поэтому плоскость \(\beta\) пересекает плоскость \(ACD\) по прямой, проходящей через точку \(N\) параллельно прямой \(AL\). В треугольнике \(ADL\) точка \(N\) — середина стороны \(AD\), поэтому эта прямая пересекает сторону \(DL\) в её середине — точке \(Q\). Вместе с равенством \(CL = \frac{1}{2}DL\) это даёт \(DQ = QL = LC\), то есть \(DQ : QC = 1 : 2\).
Плоскость \(\beta\) пересекает грань \(ABD\) по отрезку \(BN\), грань \(ACD\) — по отрезку \(NQ\), грань \(BCD\) — по отрезку \(BQ\), а с гранью \(ABC\) имеет единственную общую точку \(B\). Значит, сечение тетраэдра плоскостью \(\beta\) — треугольник \(BNQ\).
Ответ: сечение тетраэдра плоскостью \(\alpha\) — треугольник \(AML\), где \(L\) — точка ребра \(CD\), для которой \(CL : LD = 1 : 2\); сечение плоскостью \(\beta\) — треугольник \(BNQ\), где \(Q\) — точка ребра \(CD\), для которой \(DQ : QC = 1 : 2\).
Точки \(M\) и \(N\) — середины соответственно рёбер \(BC\) и \(AD\) тетраэдра \(DABC\). Параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) содержат соответственно прямые \(AM\) и \(BN\). Постройте сечения тетраэдра плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\).
Прямая \(AM\) лежит в плоскости \(ABC\). Точка \(N\) — середина ребра \(AD\), поэтому она не принадлежит плоскости \(ABC\): иначе этой плоскости принадлежала бы прямая \(AN\), а вместе с ней и вершина \(D\). Значит, прямая \(BN\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(B\). Точка \(B\) не лежит на прямой \(AM\): иначе прямая \(AM\) совпала бы с прямой \(BM\), то есть с прямой \(BC\), и вершина \(A\) лежала бы на прямой \(BC\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(AM\) и \(BN\) скрещиваются, поэтому никакая плоскость не содержит их обе, и плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны.
Прямая \(BN\) лежит в плоскости \(\beta\), а плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, поэтому \(BN \parallel \alpha\): любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости.
Точки \(B\), \(C\) и \(N\) не лежат на одной прямой, поэтому они задают плоскость \(BCN\). Точка \(M\) лежит на прямой \(BC\), значит, она принадлежит плоскости \(BCN\); кроме того, \(M \in \alpha\). Прямая \(BN\) не имеет с плоскостью \(\alpha\) общих точек, поэтому плоскость \(BCN\) не совпадает с плоскостью \(\alpha\); точка \(M\) принадлежит им обеим, значит, они пересекаются. Плоскость \(BCN\) проходит через прямую \(BN\), параллельную плоскости \(\alpha\), и пересекает плоскость \(\alpha\), поэтому прямая их пересечения параллельна прямой \(BN\) и проходит через точку \(M\). Точка \(M\) — середина стороны \(BC\) треугольника \(BCN\), а прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой его стороне, пересекает третью сторону в её середине. Следовательно, эта прямая пересекает сторону \(CN\) в её середине — точке \(K\), причём \(MK \parallel BN\) и \(K \in \alpha\).
Точки \(C\) и \(N\) принадлежат плоскости \(ACD\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(CN\) лежит в этой плоскости, а вместе с ней и точка \(K\). Точки \(A\) и \(K\) принадлежат плоскости \(\alpha\) и плоскости \(ACD\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AK\) лежит в каждой из них — это линия их пересечения. Точка \(N\) лежит между точками \(A\) и \(D\), а точка \(K\) — между точками \(C\) и \(N\), значит, \(K\) — внутренняя точка треугольника \(ACD\), и луч \(AK\) пересекает сторону \(CD\) в некоторой точке \(L\).
Найдём, в каком отношении точка \(L\) делит ребро \(CD\). Точки \(N\), \(K\) и \(L\) лежат в плоскости треугольника \(ACD\). Проведём в этом треугольнике через точку \(N\) прямую, параллельную прямой \(CD\); она пересекает отрезок \(AL\) в точке \(S\). В треугольнике \(ADL\) отрезок \(NS\) — средняя линия, так как \(N\) — середина стороны \(AD\) и \(NS \parallel DL\); значит, \(S\) — середина отрезка \(AL\) и \(NS = \frac{1}{2}DL\). В треугольниках \(NKS\) и \(CKL\) углы при вершине \(K\) вертикальные, а углы \(KNS\) и \(KCL\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(NS\) и \(CL\) и секущей \(NC\). Поскольку \(NK = KC\), треугольники \(NKS\) и \(CKL\) равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, откуда \(CL = NS = \frac{1}{2}DL\). Следовательно, \(CL : LD = 1 : 2\).
Плоскость \(\alpha\) пересекает грань \(ABC\) по отрезку \(AM\), грань \(ACD\) — по отрезку \(AL\), а грань \(BCD\) — по отрезку \(ML\), поскольку точки \(M\) и \(L\) принадлежат и этой грани, и плоскости \(\alpha\). С гранью \(ABD\) плоскость \(\alpha\) имеет единственную общую точку \(A\). Значит, сечение тетраэдра плоскостью \(\alpha\) — треугольник \(AML\).
Плоскость \(\beta\) содержит прямую \(BN\), поэтому точка \(N\) принадлежит плоскости \(\beta\). Точка \(N\) лежит на ребре \(AD\), значит, она принадлежит и плоскости \(ACD\). Вершина \(B\) плоскости \(ACD\) не принадлежит, а плоскости \(\beta\) принадлежит, поэтому плоскости \(ACD\) и \(\beta\) не совпадают, а общая точка \(N\) у них есть — значит, они пересекаются. Плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость \(ACD\) по прямой \(AL\). Прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны, поэтому плоскость \(\beta\) пересекает плоскость \(ACD\) по прямой, проходящей через точку \(N\) параллельно прямой \(AL\). В треугольнике \(ADL\) точка \(N\) — середина стороны \(AD\), поэтому эта прямая пересекает сторону \(DL\) в её середине — точке \(Q\). Значит, \(DQ = QL\), а вместе с равенством \(CL = \frac{1}{2}DL\) это даёт \(DQ = QL = LC\), то есть \(DQ : QC = 1 : 2\).
Плоскость \(\beta\) пересекает грань \(ABD\) по отрезку \(BN\), грань \(ACD\) — по отрезку \(NQ\), а грань \(BCD\) — по отрезку \(BQ\); с гранью \(ABC\) она имеет единственную общую точку \(B\). Значит, сечение тетраэдра плоскостью \(\beta\) — треугольник \(BNQ\).
Ответ: сечение тетраэдра плоскостью \(\alpha\) — треугольник \(AML\), где \(L\) — точка ребра \(CD\), для которой \(CL : LD = 1 : 2\); сечение плоскостью \(\beta\) — треугольник \(BNQ\), где \(Q\) — точка ребра \(CD\), для которой \(DQ : QC = 1 : 2\).
