Страница 70 номер 6.35, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AA_1\), \(A_1B_1\) и \(CD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\), \(N\) и \(K\) (рис. 6.28). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(K\) параллельно плоскости \(MNC\).
Как видно на рисунке, точка \(M\) лежит на ребре \(AA_1\) ближе к вершине \(A\), точка \(N\) — на ребре \(A_1B_1\) ближе к вершине \(B_1\), а точка \(K\) — на ребре \(DC\) ближе к вершине \(C\).
Точки \(M\) и \(N\) лежат на рёбрах \(AA_1\) и \(A_1B_1\), поэтому обе принадлежат плоскости грани \(ABB_1A_1\), и по аксиоме А4 прямая \(MN\) — линия пересечения плоскости \(MNC\) с плоскостью этой грани.
Продолжим прямую \(NM\) за точку \(M\) до пересечения с прямой \(AB\) в точке \(X\); эта точка лежит вне куба. Точка \(X\) принадлежит плоскости \(MNC\) и прямой \(AB\), а значит, и плоскости основания; вершина \(C\) принадлежит плоскости основания и плоскости \(MNC\). Поэтому прямая \(XC\) — линия пересечения плоскости \(MNC\) с плоскостью основания; она пересекает ребро \(AD\) в точке \(G\). Точки \(M\) и \(G\) принадлежат грани \(ADD_1A_1\) и плоскости \(MNC\), поэтому прямая \(MG\) — линия пересечения плоскости \(MNC\) с плоскостью этой грани.
Обозначим через \(\beta\) секущую плоскость — плоскость, проходящую через точку \(K\) параллельно плоскости \(MNC\). Точка \(K\) лежит на ребре \(DC\), поэтому она принадлежит и плоскости основания, и плоскости грани \(CDD_1C_1\).
Грани \(ABB_1A_1\) и \(CDD_1C_1\) лежат в параллельных плоскостях: \(AB \parallel DC\) и \(AA_1 \parallel DD_1\) как противоположные стороны квадратов — граней куба, а прямые \(AB\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей эти плоскости параллельны. Плоскость \(MNC\) пересекает их по параллельным прямым, и одна из этих прямых — прямая \(MN\). Плоскость грани \(CDD_1C_1\) пересекает и плоскость \(MNC\), и параллельную ей плоскость \(\beta\), поэтому прямые пересечения параллельны: плоскость \(\beta\) пересекает грань \(CDD_1C_1\) по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(MN\). Она пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(Q\), и отрезок \(KQ\) — линия пересечения с этой гранью.
Плоскость основания пересекает две параллельные плоскости \(MNC\) и \(\beta\), поэтому через точку \(K\) проведём прямую, параллельную прямой \(XC\); она пересекает ребро \(AD\) в точке \(P\). Так же плоскость грани \(ADD_1A_1\) пересекает обе: через точку \(P\) проведём прямую, параллельную прямой \(MG\); она пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(T\). Плоскость грани \(ABB_1A_1\) тоже пересекает обе: через точку \(T\) проведём прямую, параллельную прямой \(MN\); она пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(S\). Отрезки \(KP\), \(PT\) и \(TS\) — линии пересечения плоскости \(\beta\) с основанием \(ABCD\) и гранями \(ADD_1A_1\) и \(ABB_1A_1\).
Плоскости оснований куба параллельны, поэтому плоскость \(MNC\) пересекает верхнее основание по прямой, проходящей через точку \(N\) параллельно прямой \(XC\), а плоскость \(\beta\) — по прямой, проходящей через точку \(S\) параллельно прямой \(XC\). Она пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(R\), и отрезок \(SR\) — линия пересечения с верхним основанием.
Точки \(R\) и \(Q\) принадлежат грани \(BCC_1B_1\) и плоскости \(\beta\), поэтому эта грань пересекается по отрезку \(RQ\). Шестиугольник \(PKQRST\) — искомое сечение.
Ответ: шестиугольник \(PKQRST\) — искомое сечение.
На рёбрах \(AA_1\), \(A_1B_1\) и \(CD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\), \(N\) и \(K\) (рис. 6.28). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(K\) параллельно плоскости \(MNC\).
Как видно на рисунке, точка \(M\) лежит на ребре \(AA_1\) ближе к вершине \(A\), точка \(N\) — на ребре \(A_1B_1\) ближе к вершине \(B_1\), а точка \(K\) — на ребре \(DC\) ближе к вершине \(C\).
Точки \(M\) и \(N\) лежат на рёбрах \(AA_1\) и \(A_1B_1\), поэтому обе принадлежат плоскости грани \(ABB_1A_1\), и по аксиоме А4 прямая \(MN\) — линия пересечения плоскости \(MNC\) с плоскостью этой грани.
Продолжим прямую \(NM\) за точку \(M\) до пересечения с прямой \(AB\) в точке \(X\); эта точка лежит вне куба. Точка \(X\) принадлежит плоскости \(MNC\) и прямой \(AB\), а значит, и плоскости основания; вершина \(C\) принадлежит плоскости основания и плоскости \(MNC\). Поэтому прямая \(XC\) — линия пересечения плоскости \(MNC\) с плоскостью основания; она пересекает ребро \(AD\) в точке \(G\). Точки \(M\) и \(G\) принадлежат грани \(ADD_1A_1\) и плоскости \(MNC\), поэтому прямая \(MG\) — линия пересечения плоскости \(MNC\) с плоскостью этой грани.
Обозначим через \(\beta\) секущую плоскость, то есть плоскость, проходящую через точку \(K\) параллельно плоскости \(MNC\). Точка \(K\) лежит на ребре \(DC\), поэтому она принадлежит и плоскости основания, и плоскости грани \(CDD_1C_1\).
Грани \(ABB_1A_1\) и \(CDD_1C_1\) лежат в параллельных плоскостях: \(AB \parallel DC\) и \(AA_1 \parallel DD_1\) как противоположные стороны квадратов — граней куба, а прямые \(AB\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей эти плоскости параллельны. Плоскость \(MNC\) пересекает их по параллельным прямым, и одна из этих прямых — прямая \(MN\). Плоскость грани \(CDD_1C_1\) пересекает и плоскость \(MNC\), и параллельную ей плоскость \(\beta\), поэтому прямые пересечения параллельны: плоскость \(\beta\) пересекает грань \(CDD_1C_1\) по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(MN\). Эта прямая пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(Q\), и отрезок \(KQ\) — линия пересечения плоскости \(\beta\) с этой гранью.
Плоскость основания пересекает две параллельные плоскости \(MNC\) и \(\beta\), поэтому через точку \(K\) проведём прямую, параллельную прямой \(XC\); она пересекает ребро \(AD\) в точке \(P\), и отрезок \(KP\) — линия пересечения плоскости \(\beta\) с основанием \(ABCD\).
Так же плоскость грани \(ADD_1A_1\) пересекает обе параллельные плоскости, поэтому через точку \(P\) проведём прямую, параллельную прямой \(MG\); она пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(T\), и отрезок \(PT\) — линия пересечения плоскости \(\beta\) с этой гранью.
Плоскость грани \(ABB_1A_1\) пересекает обе параллельные плоскости, поэтому через точку \(T\) проведём прямую, параллельную прямой \(MN\); она пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(S\), и отрезок \(TS\) — линия пересечения плоскости \(\beta\) с этой гранью.
Плоскости оснований куба параллельны, поэтому плоскость \(MNC\) пересекает верхнее основание по прямой, проходящей через точку \(N\) параллельно прямой \(XC\), а плоскость \(\beta\) — по прямой, проходящей через точку \(S\) параллельно прямой \(XC\). Эта прямая пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(R\), и отрезок \(SR\) — линия пересечения плоскости \(\beta\) с верхним основанием.
Точки \(R\) и \(Q\) принадлежат грани \(BCC_1B_1\) и плоскости \(\beta\), поэтому эта грань пересекается по отрезку \(RQ\). Шестиугольник \(PKQRST\) — искомое сечение.
Ответ: шестиугольник \(PKQRST\) — искомое сечение.
