Страница 69 номер 6.34, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(K\) принадлежит грани \(DME\) пирамиды \(MABCDE\) (рис. 6.27). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку \(K\) параллельно плоскости \(CMD\).
Грани \(DME\) и \(CMD\) имеют общее ребро \(MD\), поэтому их плоскости пересекаются по прямой \(MD\).
Плоскость грани \(DME\) пересекает две параллельные плоскости \(CMD\) и секущую, поэтому прямые пересечения параллельны: в плоскости грани \(DME\) через точку \(K\) проведём прямую, параллельную прямой \(MD\). Она пересекает ребро \(ME\) в точке \(P\), а ребро \(DE\) — в точке \(Q\); отрезок \(PQ\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(DME\).
Плоскость основания пересекает плоскость \(CMD\) по прямой \(CD\), поэтому секущую плоскость она пересекает по прямой, проходящей через точку \(Q\) параллельно прямой \(CD\). Она пересекает ребро \(BC\) в точке \(R\), и отрезок \(QR\) — линия пересечения с основанием \(ABCDE\).
Грани \(BMC\) и \(CMD\) имеют общее ребро \(MC\), поэтому плоскость грани \(BMC\) пересекает плоскость \(CMD\) по прямой \(MC\), а секущую плоскость — по прямой, проходящей через точку \(R\) параллельно прямой \(MC\). Она пересекает ребро \(MB\) в точке \(S\), и отрезок \(RS\) — линия пересечения с гранью \(BMC\).
Продолжим прямую \(QR\) за точку \(Q\) до пересечения с прямой \(AE\) в точке \(U\); эта точка лежит вне пирамиды. Точка \(U\) принадлежит секущей плоскости и прямой \(AE\), а значит, и плоскости грани \(AME\); точка \(P\) принадлежит той же грани и секущей плоскости. Поэтому прямая \(UP\) — линия пересечения секущей плоскости с плоскостью грани \(AME\); она пересекает ребро \(MA\) в точке \(T\), и отрезок \(PT\) — линия пересечения с гранью \(AME\).
Точки \(S\) и \(T\) принадлежат грани \(AMB\) и секущей плоскости, поэтому по аксиоме А4 эта грань пересекается по отрезку \(ST\).
Пятиугольник \(PQRST\) — искомое сечение.
Ответ: пятиугольник \(PQRST\) — искомое сечение.
Точка \(K\) принадлежит грани \(DME\) пирамиды \(MABCDE\) (рис. 6.27). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку \(K\) параллельно плоскости \(CMD\).
Грани \(DME\) и \(CMD\) имеют общее ребро \(MD\), поэтому их плоскости пересекаются по прямой \(MD\).
Секущая плоскость проходит через точку \(K\) параллельно плоскости \(CMD\), а плоскость грани \(DME\) пересекает обе эти параллельные плоскости (точка \(K\) принадлежит грани \(DME\)). Прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны, поэтому в плоскости грани \(DME\) через точку \(K\) проведём прямую, параллельную прямой \(MD\). Она пересекает ребро \(ME\) в точке \(P\), а ребро \(DE\) — в точке \(Q\); отрезок \(PQ\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(DME\).
Плоскость основания пересекает плоскость \(CMD\) по прямой \(CD\), поэтому секущую плоскость она пересекает по прямой, проходящей через точку \(Q\) параллельно прямой \(CD\). Эта прямая пересекает ребро \(BC\) в точке \(R\), и отрезок \(QR\) — линия пересечения секущей плоскости с основанием \(ABCDE\).
Грани \(BMC\) и \(CMD\) имеют общее ребро \(MC\), поэтому плоскость грани \(BMC\) пересекает плоскость \(CMD\) по прямой \(MC\), а секущую плоскость — по прямой, проходящей через точку \(R\) параллельно прямой \(MC\). Эта прямая пересекает ребро \(MB\) в точке \(S\), и отрезок \(RS\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(BMC\).
Продолжим прямую \(QR\) за точку \(Q\) до пересечения с прямой \(AE\) в точке \(U\); эта точка лежит вне пирамиды. Точка \(U\) принадлежит секущей плоскости и прямой \(AE\), а значит, и плоскости грани \(AME\); точка \(P\) принадлежит той же грани и секущей плоскости. Поэтому прямая \(UP\) — линия пересечения секущей плоскости с плоскостью грани \(AME\); она пересекает ребро \(MA\) в точке \(T\), и отрезок \(PT\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(AME\).
Точки \(S\) и \(T\) принадлежат грани \(AMB\) и секущей плоскости, поэтому по аксиоме А4 эта грань пересекается по отрезку \(ST\).
Пятиугольник \(PQRST\) — искомое сечение.
Ответ: пятиугольник \(PQRST\) — искомое сечение.
