Страница 69 номер 6.33, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AD\), \(CD\) и \(B_1C_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(E\), \(F\) и \(K\) (рис. 6.26). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(K\) параллельно плоскости \(EFB_1\).
Как видно на рисунке, точка \(E\) лежит на ребре \(AD\) ближе к вершине \(D\), точка \(F\) — на ребре \(CD\), а точка \(K\) — на ребре \(B_1C_1\) ближе к вершине \(B_1\).
Точки \(E\) и \(F\) лежат в плоскости основания \(ABCD\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(EF\) — линия пересечения плоскости \(EFB_1\) с плоскостью основания.
Продолжим прямую \(EF\) за точку \(F\) до пересечения с прямой \(BC\) в точке \(W\); эта точка лежит вне куба. Точка \(W\) принадлежит плоскости \(EFB_1\) и прямой \(BC\), а значит, и плоскости грани \(BCC_1B_1\); вершина \(B_1\) принадлежит той же грани. Поэтому прямая \(WB_1\) — линия пересечения плоскости \(EFB_1\) с плоскостью грани \(BCC_1B_1\); она пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(V\). Точки \(F\) и \(V\) принадлежат грани \(CDD_1C_1\) и плоскости \(EFB_1\), поэтому прямая \(FV\) — линия пересечения плоскости \(EFB_1\) с плоскостью этой грани.
Обозначим через \(\beta\) секущую плоскость — плоскость, проходящую через точку \(K\) параллельно плоскости \(EFB_1\).
Точка \(K\) лежит на ребре \(B_1C_1\), поэтому плоскость грани \(BCC_1B_1\) пересекает обе параллельные плоскости \(EFB_1\) и \(\beta\), и прямые пересечения параллельны: через точку \(K\) проведём прямую, параллельную прямой \(WB_1\). Она пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(R\), и отрезок \(KR\) — линия пересечения с гранью \(BCC_1B_1\).
Так же плоскость грани \(CDD_1C_1\) пересекает обе параллельные плоскости: через точку \(R\) проведём прямую, параллельную прямой \(FV\); она пересекает ребро \(DC\) в точке \(Q\). Плоскость основания тоже пересекает обе: через точку \(Q\) проведём прямую, параллельную прямой \(EF\); она пересекает ребро \(AD\) в точке \(P\). Отрезки \(RQ\) и \(QP\) — линии пересечения плоскости \(\beta\) с гранью \(CDD_1C_1\) и с гранью \(ABCD\).
Грани \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) лежат в параллельных плоскостях: \(AD \parallel BC\) и \(AA_1 \parallel BB_1\) как противоположные стороны квадратов — граней куба, а прямые \(AD\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей эти плоскости параллельны. Плоскость \(\beta\) пересекает их обе, значит, через точку \(P\) проведём прямую, параллельную прямой \(KR\); она пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(T\), и отрезок \(PT\) — линия пересечения с гранью \(ADD_1A_1\).
Плоскости оснований куба параллельны, поэтому плоскость \(EFB_1\) пересекает верхнее основание по прямой, проходящей через точку \(B_1\) параллельно прямой \(EF\), а плоскость \(\beta\) — по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(EF\). Она пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(S\), и отрезок \(KS\) — линия пересечения с гранью \(A_1B_1C_1D_1\).
Точки \(S\) и \(T\) принадлежат грани \(ABB_1A_1\) и плоскости \(\beta\), поэтому эта грань пересекается по отрезку \(ST\). Шестиугольник \(PQRKST\) — искомое сечение.
Ответ: шестиугольник \(PQRKST\) — искомое сечение.
На рёбрах \(AD\), \(CD\) и \(B_1C_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(E\), \(F\) и \(K\) (рис. 6.26). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(K\) параллельно плоскости \(EFB_1\).
Как видно на рисунке, точка \(E\) лежит на ребре \(AD\) ближе к вершине \(D\), точка \(F\) — на ребре \(CD\), а точка \(K\) — на ребре \(B_1C_1\) ближе к вершине \(B_1\).
Точки \(E\) и \(F\) лежат в плоскости основания \(ABCD\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(EF\) — линия пересечения плоскости \(EFB_1\) с плоскостью основания.
Продолжим прямую \(EF\) за точку \(F\) до пересечения с прямой \(BC\) в точке \(W\); эта точка лежит вне куба. Точка \(W\) принадлежит плоскости \(EFB_1\) и прямой \(BC\), а значит, и плоскости грани \(BCC_1B_1\); вершина \(B_1\) принадлежит той же грани. Поэтому прямая \(WB_1\) — линия пересечения плоскости \(EFB_1\) с плоскостью грани \(BCC_1B_1\); она пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(V\). Тогда точки \(F\) и \(V\) принадлежат грани \(CDD_1C_1\) и плоскости \(EFB_1\), поэтому прямая \(FV\) — линия пересечения плоскости \(EFB_1\) с плоскостью этой грани.
Обозначим через \(\beta\) секущую плоскость, то есть плоскость, проходящую через точку \(K\) параллельно плоскости \(EFB_1\).
Точка \(K\) лежит на ребре \(B_1C_1\), поэтому плоскость грани \(BCC_1B_1\) пересекает обе параллельные плоскости \(EFB_1\) и \(\beta\), и прямые пересечения параллельны: через точку \(K\) проведём прямую, параллельную прямой \(WB_1\). Она пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(R\), и отрезок \(KR\) — линия пересечения плоскости \(\beta\) с гранью \(BCC_1B_1\).
Плоскость грани \(CDD_1C_1\) тоже пересекает обе параллельные плоскости, поэтому через точку \(R\) проведём прямую, параллельную прямой \(FV\); она пересекает ребро \(DC\) в точке \(Q\), и отрезок \(RQ\) — линия пересечения плоскости \(\beta\) с этой гранью.
Плоскость основания пересекает обе параллельные плоскости, поэтому через точку \(Q\) проведём прямую, параллельную прямой \(EF\); она пересекает ребро \(AD\) в точке \(P\), и отрезок \(QP\) — линия пересечения плоскости \(\beta\) с гранью \(ABCD\).
Грани \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) лежат в параллельных плоскостях: \(AD \parallel BC\) и \(AA_1 \parallel BB_1\) как противоположные стороны квадратов — граней куба, а прямые \(AD\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей эти плоскости параллельны. Плоскость \(\beta\) пересекает их обе, значит, через точку \(P\) проведём прямую, параллельную прямой \(KR\); она пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(T\), и отрезок \(PT\) — линия пересечения плоскости \(\beta\) с гранью \(ADD_1A_1\).
Плоскости оснований куба параллельны, поэтому плоскость \(EFB_1\) пересекает верхнее основание по прямой, проходящей через точку \(B_1\) параллельно прямой \(EF\), а плоскость \(\beta\) — по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(EF\). Эта прямая пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(S\), и отрезок \(KS\) — линия пересечения плоскости \(\beta\) с гранью \(A_1B_1C_1D_1\).
Точки \(S\) и \(T\) принадлежат грани \(ABB_1A_1\) и плоскости \(\beta\), поэтому эта грань пересекается по отрезку \(ST\). Шестиугольник \(PQRKST\) — искомое сечение.
Ответ: шестиугольник \(PQRKST\) — искомое сечение.
