Страница 69 номер 6.32, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(E\) лежит на ребре \(BC\) призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точка \(F\) принадлежит грани \(BB_1C_1C\) (рис. 6.25). Постройте линию пересечения плоскости \(ABB_1\) и плоскости, проходящей через точку \(F\) параллельно плоскости \(EDD_1\).
Боковые грани призмы — параллелограммы, поэтому её боковые рёбра параллельны: \(AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1\).
Прямая \(DD_1\) параллельна прямой \(CC_1\), лежащей в плоскости \(BB_1C_1\), и сама этой плоскости не принадлежит, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(DD_1 \parallel BB_1C_1\). Плоскость \(EDD_1\) проходит через эту прямую и пересекает плоскость \(BB_1C_1\) (их общая точка — \(E\)), поэтому прямая пересечения плоскостей \(EDD_1\) и \(BB_1C_1\) параллельна прямой \(DD_1\), а значит, и прямой \(CC_1\).
Обозначим через \(\beta\) плоскость, проходящую через точку \(F\) параллельно плоскости \(EDD_1\). Плоскость грани \(BB_1C_1C\) пересекает две параллельные плоскости \(\beta\) и \(EDD_1\), поэтому прямые пересечения параллельны: плоскость \(\beta\) пересекает эту грань по прямой, проходящей через точку \(F\) параллельно ребру \(CC_1\). Эта прямая пересекает ребро \(BC\) в точке \(K\); как видно на рисунке, точка \(F\) лежит в грани \(BB_1C_1C\) ближе к ребру \(BB_1\), поэтому и точка \(K\) лежит на ребре \(BC\) ближе к вершине \(B\), чем точка \(E\).
Плоскость основания \(ABCD\) пересекает плоскость \(EDD_1\) по прямой \(ED\), а плоскость \(\beta\) — по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(ED\). Продолжим эту прямую за точку \(K\) до пересечения с прямой \(AB\) и обозначим точку пересечения \(L\); она лежит вне призмы, на продолжении ребра \(AB\) за точку \(B\).
Точка \(B\) плоскости \(\beta\) не принадлежит: плоскость \(\beta\) пересекает плоскость грани \(BB_1C_1C\) по прямой \(KF\), а прямая \(KF\) пересекает прямую \(BC\) только в точке \(K\), отличной от \(B\). Значит, прямая \(BB_1\) в плоскости \(\beta\) не лежит. При этом \(BB_1 \parallel KF\), а прямая \(KF\) лежит в плоскости \(\beta\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(BB_1 \parallel \beta\).
Точка \(L\) лежит на прямой \(AB\), а значит, принадлежит плоскости \(ABB_1\); при этом \(L \in \beta\). Плоскость \(ABB_1\) проходит через прямую \(BB_1\), параллельную плоскости \(\beta\), и пересекает плоскость \(\beta\), следовательно, прямая их пересечения проходит через точку \(L\) параллельно прямой \(BB_1\).
Ответ: искомая линия пересечения — прямая, проходящая через точку \(L\) параллельно боковому ребру \(BB_1\); точка \(L\) лежит вне призмы, на продолжении ребра \(AB\) за точку \(B\).
Точка \(E\) лежит на ребре \(BC\) призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точка \(F\) принадлежит грани \(BB_1C_1C\) (рис. 6.25). Постройте линию пересечения плоскости \(ABB_1\) и плоскости, проходящей через точку \(F\) параллельно плоскости \(EDD_1\).
Боковые грани призмы — параллелограммы, поэтому её боковые рёбра параллельны: \(AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1\).
Прямая \(DD_1\) параллельна прямой \(CC_1\), лежащей в плоскости \(BB_1C_1\), и сама этой плоскости не принадлежит, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(DD_1 \parallel BB_1C_1\). Плоскость \(EDD_1\) проходит через прямую \(DD_1\), параллельную плоскости \(BB_1C_1\), и пересекает эту плоскость (их общая точка — \(E\)), поэтому прямая пересечения плоскостей \(EDD_1\) и \(BB_1C_1\) параллельна прямой \(DD_1\), а значит, и прямой \(CC_1\).
Обозначим через \(\beta\) плоскость, проходящую через точку \(F\) параллельно плоскости \(EDD_1\). Плоскость грани \(BB_1C_1C\) пересекает две параллельные плоскости \(\beta\) и \(EDD_1\), поэтому прямые пересечения параллельны: плоскость \(\beta\) пересекает эту грань по прямой, проходящей через точку \(F\) параллельно ребру \(CC_1\). Эта прямая пересекает ребро \(BC\) в точке \(K\); как видно на рисунке, точка \(F\) лежит в грани \(BB_1C_1C\) ближе к ребру \(BB_1\), поэтому и точка \(K\) лежит на ребре \(BC\) ближе к вершине \(B\), чем точка \(E\).
Плоскость основания \(ABCD\) пересекает плоскость \(EDD_1\) по прямой \(ED\), а плоскость \(\beta\) — по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(ED\). Продолжим эту прямую за точку \(K\) до пересечения с прямой \(AB\) и обозначим точку пересечения \(L\); она лежит вне призмы, на продолжении ребра \(AB\) за точку \(B\).
Точка \(B\) плоскости \(\beta\) не принадлежит: плоскость \(\beta\) пересекает плоскость грани \(BB_1C_1C\) по прямой \(KF\), а прямая \(KF\) пересекает прямую \(BC\) только в точке \(K\), отличной от \(B\). Значит, прямая \(BB_1\) в плоскости \(\beta\) не лежит. При этом \(BB_1 \parallel KF\), а прямая \(KF\) лежит в плоскости \(\beta\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(BB_1 \parallel \beta\).
Плоскость \(ABB_1\) проходит через прямую \(BB_1\), параллельную плоскости \(\beta\), и пересекает плоскость \(\beta\): точка \(L\) лежит на прямой \(AB\), а значит, принадлежит плоскости \(ABB_1\), и при этом \(L \in \beta\). Следовательно, прямая пересечения плоскостей \(ABB_1\) и \(\beta\) проходит через точку \(L\) параллельно прямой \(BB_1\).
Ответ: искомая линия пересечения — прямая, проходящая через точку \(L\) параллельно боковому ребру \(BB_1\); точка \(L\) лежит вне призмы, на продолжении ребра \(AB\) за точку \(B\).
