Страница 69 номер 6.31, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(D\) лежит на ребре \(AB\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\), точка \(E\) принадлежит грани \(AA_1B_1B\) (рис. 6.24). Постройте линию пересечения плоскости \(ACC_1\) и плоскости, проходящей через точку \(E\) параллельно плоскости \(DCC_1\).
Боковые грани призмы — параллелограммы, поэтому боковые рёбра призмы параллельны: \(AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1\).
Прямая \(CC_1\) параллельна прямой \(AA_1\), лежащей в плоскости \(AA_1B_1\), и сама этой плоскости не принадлежит, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(CC_1 \parallel AA_1B_1\). Плоскость \(DCC_1\) проходит через прямую \(CC_1\), параллельную плоскости \(AA_1B_1\), и пересекает эту плоскость (их общая точка — \(D\)), поэтому прямая пересечения плоскостей \(DCC_1\) и \(AA_1B_1\) параллельна прямой \(CC_1\).
Обозначим через \(\beta\) плоскость, проходящую через точку \(E\) параллельно плоскости \(DCC_1\). Плоскость грани \(AA_1B_1B\) пересекает две параллельные плоскости \(\beta\) и \(DCC_1\), поэтому прямые пересечения параллельны: плоскость \(\beta\) пересекает эту грань по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно прямой \(CC_1\); эта прямая пересекает ребро \(AB\) в точке \(K\), а ребро \(A_1B_1\) — в точке \(Q\). Как видно на рисунке, точка \(D\) отмечена на ребре \(AB\) ближе к вершине \(B\), а точка \(E\) лежит в грани \(AA_1B_1B\) со стороны ребра \(AA_1\), поэтому точка \(K\) лежит на ребре \(AB\) между вершиной \(A\) и точкой \(D\).
Так же плоскость основания \(ABC\) пересекает плоскость \(DCC_1\) по прямой \(DC\), а плоскость \(\beta\) — по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(DC\); она пересекает ребро \(AC\) в точке \(L\).
Точка \(L\) лежит на прямой \(AC\), поэтому она принадлежит плоскости \(ACC_1\); кроме того, \(L \in \beta\). Плоскости \(ACC_1\) и \(DCC_1\) различны: плоскость \(ACC_1\) пересекает плоскость основания по прямой \(AC\), а точка \(D\) лежит на ребре \(AB\) и прямой \(AC\) не принадлежит. Их общие точки \(C\) и \(C_1\) по аксиоме А4 дают прямую пересечения \(CC_1\).
Плоскость \(ACC_1\) пересекает две параллельные плоскости \(DCC_1\) и \(\beta\), значит, прямые пересечения параллельны: линия пересечения плоскостей \(ACC_1\) и \(\beta\) — прямая, проходящая через точку \(L\) параллельно прямой \(CC_1\). Она пересекает ребро \(A_1C_1\) в точке \(N\).
Ответ: искомая линия пересечения — прямая \(LN\), параллельная боковому ребру \(CC_1\); точка \(L\) лежит на ребре \(AC\), точка \(N\) — на ребре \(A_1C_1\).
Точка \(D\) лежит на ребре \(AB\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\), точка \(E\) принадлежит грани \(AA_1B_1B\) (рис. 6.24). Постройте линию пересечения плоскости \(ACC_1\) и плоскости, проходящей через точку \(E\) параллельно плоскости \(DCC_1\).
Боковые грани призмы — параллелограммы, поэтому боковые рёбра призмы параллельны: \(AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1\).
Прямая \(CC_1\) параллельна прямой \(AA_1\), лежащей в плоскости \(AA_1B_1\), и сама этой плоскости не принадлежит, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(CC_1 \parallel AA_1B_1\). Плоскость \(DCC_1\) проходит через прямую \(CC_1\), параллельную плоскости \(AA_1B_1\), и пересекает эту плоскость (их общая точка — \(D\)), поэтому прямая пересечения плоскостей \(DCC_1\) и \(AA_1B_1\) параллельна прямой \(CC_1\).
Обозначим через \(\beta\) плоскость, проходящую через точку \(E\) параллельно плоскости \(DCC_1\). Плоскость грани \(AA_1B_1B\) пересекает плоскость \(\beta\) (их общая точка — \(E\)) и плоскость \(DCC_1\), а прямые, образованные пересечением двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны. Значит, плоскость \(\beta\) пересекает грань \(AA_1B_1B\) по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно прямой \(CC_1\); эта прямая пересекает ребро \(AB\) в точке \(K\), а ребро \(A_1B_1\) — в точке \(Q\). Как видно на рисунке, точка \(D\) отмечена на ребре \(AB\) ближе к вершине \(B\), а точка \(E\) лежит в грани \(AA_1B_1B\) ближе к ребру \(AA_1\), чем к ребру \(BB_1\); поэтому точка \(K\) лежит на ребре \(AB\) между вершиной \(A\) и точкой \(D\).
Так же плоскость основания \(ABC\) пересекает плоскость \(DCC_1\) по прямой \(DC\), а плоскость \(\beta\) — по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(DC\). Эта прямая пересекает ребро \(AC\) в точке \(L\).
Точка \(L\) лежит на прямой \(AC\), поэтому она принадлежит плоскости \(ACC_1\); кроме того, \(L \in \beta\). Плоскость \(ACC_1\) пересекает плоскость основания по прямой \(AC\), а точка \(D\) лежит на ребре \(AB\) и прямой \(AC\) не принадлежит, поэтому плоскости \(ACC_1\) и \(DCC_1\) различны; их общие точки \(C\) и \(C_1\) по аксиоме А4 дают прямую пересечения \(CC_1\).
Плоскость \(ACC_1\) пересекает две параллельные плоскости \(DCC_1\) и \(\beta\), значит, прямые пересечения параллельны: линия пересечения плоскостей \(ACC_1\) и \(\beta\) — прямая, проходящая через точку \(L\) параллельно прямой \(CC_1\). Она пересекает ребро \(A_1C_1\) в точке \(N\).
Ответ: искомая линия пересечения — прямая \(LN\), параллельная боковому ребру \(CC_1\); точка \(L\) лежит на ребре \(AC\), точка \(N\) — на ребре \(A_1C_1\).
