Страницы 68-69 номер 6.30, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямая \(a\) и основание \(ABCD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежат в плоскости \(\alpha\) (рис. 6.23). На ребре \(AB\) отметили точку \(E\), на ребре \(C_1D_1\) — точку \(F\). Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой \(a\) и проходящей через точки \(E\) и \(F\).
Ребро \(AB\) лежит в плоскости \(\alpha\), поэтому точка \(E\) — общая точка плоскости \(\alpha\) и секущей плоскости. Плоскость \(\alpha\) проходит через прямую \(a\), параллельную секущей плоскости, и пересекает её, поэтому прямая пересечения параллельна прямой \(a\): секущая плоскость пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно прямой \(a\). Как видно на рисунке, точка \(E\) лежит на ребре \(AB\) ближе к вершине \(A\); построенная прямая пересекает ребро \(AD\) в точке \(K\), и отрезок \(KE\) — линия пересечения с гранью \(ABCD\).
Плоскости оснований параллельны по признаку параллельности двух плоскостей: \(AD \parallel A_1D_1\) и \(AB \parallel A_1B_1\) как противоположные стороны граней-прямоугольников, а прямые \(AD\) и \(AB\) пересекаются в точке \(A\). Секущая плоскость пересекает их обе, значит, прямые пересечения параллельны: в плоскости верхнего основания через точку \(F\) проведём прямую, параллельную прямой \(KE\). Она пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(N\), и отрезок \(FN\) — линия пересечения с гранью \(A_1B_1C_1D_1\).
Продолжим прямую \(KE\) за точку \(E\) до пересечения с прямой \(BC\) в точке \(X\); эта точка лежит вне параллелепипеда. Точка \(X\) принадлежит секущей плоскости и прямой \(BC\), а значит, и плоскости грани \(BCC_1B_1\); точка \(N\) принадлежит той же грани и секущей плоскости. Поэтому прямая \(XN\) — линия пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани; она пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(L\), и отрезок \(LN\) — линия пересечения с гранью \(BCC_1B_1\).
Точки \(E\) и \(L\) принадлежат грани \(ABB_1A_1\) и секущей плоскости, поэтому по аксиоме А4 эта грань пересекается по отрезку \(EL\).
Грани \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) тоже лежат в параллельных плоскостях: \(AD \parallel BC\) и \(AA_1 \parallel BB_1\), а прямые \(AD\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\). Секущая плоскость пересекает обе, поэтому через точку \(K\) проведём прямую, параллельную прямой \(LN\); она пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(P\), и отрезок \(KP\) — линия пересечения с гранью \(ADD_1A_1\).
Точки \(P\) и \(F\) принадлежат грани \(CDD_1C_1\) и секущей плоскости, поэтому эта грань пересекается по отрезку \(PF\). Шестиугольник \(KELNFP\) — искомое сечение.
Ответ: шестиугольник \(KELNFP\) — искомое сечение.
Прямая \(a\) и основание \(ABCD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежат в плоскости \(\alpha\) (рис. 6.23). На ребре \(AB\) отметили точку \(E\), на ребре \(C_1D_1\) — точку \(F\). Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой \(a\) и проходящей через точки \(E\) и \(F\).
Ребро \(AB\) лежит в плоскости \(\alpha\), поэтому точка \(E\) — общая точка плоскости \(\alpha\) и секущей плоскости. Секущая плоскость параллельна прямой \(a\), плоскость \(\alpha\) проходит через прямую \(a\) и пересекает секущую плоскость, а если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно прямой \(a\). Как видно на рисунке, точка \(E\) лежит на ребре \(AB\) ближе к вершине \(A\); построенная прямая пересекает ребро \(AD\) в точке \(K\), и отрезок \(KE\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(ABCD\).
Плоскости оснований параллельны: \(AD \parallel A_1D_1\) и \(AB \parallel A_1B_1\) как противоположные стороны граней-прямоугольников, а прямые \(AD\) и \(AB\) пересекаются в точке \(A\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей эти плоскости параллельны. Секущая плоскость пересекает их обе, значит, прямые пересечения параллельны: в плоскости верхнего основания через точку \(F\) проведём прямую, параллельную прямой \(KE\). Она пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(N\), и отрезок \(FN\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(A_1B_1C_1D_1\).
Продолжим прямую \(KE\) за точку \(E\) до пересечения с прямой \(BC\) в точке \(X\); эта точка лежит вне параллелепипеда. Точка \(X\) принадлежит секущей плоскости и прямой \(BC\), а значит, и плоскости грани \(BCC_1B_1\); точка \(N\) принадлежит той же грани и секущей плоскости. Поэтому прямая \(XN\) — линия пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани; она пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(L\), и отрезок \(LN\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(BCC_1B_1\).
Точки \(E\) и \(L\) принадлежат грани \(ABB_1A_1\) и секущей плоскости, поэтому по аксиоме А4 эта грань пересекается по отрезку \(EL\).
Грани \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) тоже лежат в параллельных плоскостях: \(AD \parallel BC\) и \(AA_1 \parallel BB_1\), а прямые \(AD\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\). Секущая плоскость пересекает обе эти плоскости, поэтому через точку \(K\) проведём прямую, параллельную прямой \(LN\); она пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(P\), и отрезок \(KP\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(ADD_1A_1\).
Точки \(P\) и \(F\) принадлежат грани \(CDD_1C_1\) и секущей плоскости, поэтому эта грань пересекается по отрезку \(PF\). Шестиугольник \(KELNFP\) — искомое сечение.
Ответ: шестиугольник \(KELNFP\) — искомое сечение.
