Страница 68 номер 6.29, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямая \(a\) и основание \(ABCD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежат в плоскости \(\alpha\) (рис. 6.22). На ребре \(AD\) отметили точку \(E\), на ребре \(CC_1\) — точку \(F\). Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой \(a\) и проходящей через точки \(E\) и \(F\).
Секущая плоскость параллельна прямой \(a\), а плоскость \(\alpha\) проходит через прямую \(a\) и пересекает секущую плоскость: их общая точка — \(E\). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно прямой \(a\). Как видно на рисунке, точка \(E\) лежит на ребре \(AD\) ближе к вершине \(A\), и построенная прямая пересекает ребро \(BC\) в точке \(G\). Отрезок \(EG\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(ABCD\).
Точки \(G\) и \(F\) принадлежат грани \(BCC_1B_1\) и секущей плоскости, поэтому по аксиоме А4 эта грань пересекается секущей плоскостью по отрезку \(GF\).
Грани \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) лежат в параллельных плоскостях: \(AD \parallel BC\) и \(AA_1 \parallel BB_1\) как противоположные стороны прямоугольников — граней параллелепипеда, а прямые \(AD\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей эти плоскости параллельны. Секущая плоскость пересекает их обе, значит, прямые пересечения параллельны: через точку \(E\) проведём прямую, параллельную прямой \(GF\). Она пересекает ребро \(A_1D_1\) в точке \(R\), и отрезок \(ER\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(ADD_1A_1\).
Плоскости оснований параллелепипеда тоже параллельны: \(AD \parallel A_1D_1\) и \(AB \parallel A_1B_1\) как противоположные стороны граней-прямоугольников, а прямые \(AD\) и \(AB\) пересекаются в точке \(A\). Секущая плоскость пересекает обе эти плоскости, поэтому через точку \(R\) проведём прямую, параллельную прямой \(EG\); она пересекает ребро \(C_1D_1\) в точке \(Q\), и отрезок \(RQ\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(A_1B_1C_1D_1\).
Точки \(Q\) и \(F\) принадлежат грани \(CDD_1C_1\) и секущей плоскости, поэтому эта грань пересекается по отрезку \(QF\). Пятиугольник \(EGFQR\) — искомое сечение.
Ответ: пятиугольник \(EGFQR\) — искомое сечение.
Прямая \(a\) и основание \(ABCD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежат в плоскости \(\alpha\) (рис. 6.22). На ребре \(AD\) отметили точку \(E\), на ребре \(CC_1\) — точку \(F\). Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой \(a\) и проходящей через точки \(E\) и \(F\).
Секущая плоскость параллельна прямой \(a\), а плоскость \(\alpha\) проходит через прямую \(a\) и пересекает секущую плоскость: их общая точка — \(E\). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно прямой \(a\). Как видно на рисунке, точка \(E\) лежит на ребре \(AD\) ближе к вершине \(A\), и построенная прямая пересекает ребро \(BC\); обозначим точку пересечения \(G\). Отрезок \(EG\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(ABCD\).
Точки \(G\) и \(F\) принадлежат грани \(BCC_1B_1\) и секущей плоскости, поэтому по аксиоме А4 эта грань пересекается секущей плоскостью по отрезку \(GF\).
Грани \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) лежат в параллельных плоскостях: \(AD \parallel BC\) и \(AA_1 \parallel BB_1\) как противоположные стороны прямоугольников — граней параллелепипеда, а прямые \(AD\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей эти плоскости параллельны. Секущая плоскость пересекает их обе, значит, прямые пересечения параллельны: через точку \(E\) проведём прямую, параллельную прямой \(GF\). Она пересекает ребро \(A_1D_1\) в точке \(R\), и отрезок \(ER\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(ADD_1A_1\).
Плоскости оснований параллелепипеда тоже параллельны: \(AD \parallel A_1D_1\) и \(AB \parallel A_1B_1\) как противоположные стороны граней-прямоугольников, а прямые \(AD\) и \(AB\) пересекаются в точке \(A\). Секущая плоскость пересекает обе эти плоскости, поэтому через точку \(R\) проведём прямую, параллельную прямой \(EG\); она пересекает ребро \(C_1D_1\) в точке \(Q\), и отрезок \(RQ\) — линия пересечения секущей плоскости с гранью \(A_1B_1C_1D_1\).
Точки \(Q\) и \(F\) принадлежат грани \(CDD_1C_1\) и секущей плоскости, поэтому эта грань пересекается по отрезку \(QF\). Пятиугольник \(EGFQR\) — искомое сечение.
Ответ: пятиугольник \(EGFQR\) — искомое сечение.
