Страница 65 номер 6.2, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Параллелограммы \(ABCD\) и \(AEFD\) не лежат в одной плоскости (рис. 6.13). Докажите, что плоскости \(ABE\) и \(DCF\) параллельны.
Прямые \(AB\) и \(AE\) различны: если бы точка \(E\) лежала на прямой \(AB\), то плоскость параллелограмма \(AEFD\) имела бы с этой прямой две общие точки \(A\) и \(E\) и по аксиоме А4 проходила бы через всю прямую \(AB\), а вместе с ней — через не принадлежащую этой прямой точку \(D\); но через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна, поэтому плоскость параллелограмма \(AEFD\) совпала бы с плоскостью параллелограмма \(ABCD\), что противоречит условию. Значит, прямые \(AB\) и \(AE\) пересекаются в точке \(A\). Аналогично прямые \(DC\) и \(DF\) пересекаются в точке \(D\).
Пересекающиеся прямые \(AB\) и \(AE\) лежат в плоскости \(ABE\), прямые \(DC\) и \(DF\) — в плоскости \(DCF\), причём \(AB \parallel DC\) и \(AE \parallel DF\). По признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(ABE\) и \(DCF\) параллельны.
Ответ: плоскости \(ABE\) и \(DCF\) параллельны.
Параллелограммы \(ABCD\) и \(AEFD\) не лежат в одной плоскости (рис. 6.13). Докажите, что плоскости \(ABE\) и \(DCF\) параллельны.
Стороны \(AB\) и \(DC\) параллелограмма \(ABCD\) параллельны, стороны \(AE\) и \(DF\) параллелограмма \(AEFD\) параллельны.
Прямые \(AB\) и \(AE\) различны. Действительно, если бы точка \(E\) лежала на прямой \(AB\), то плоскость параллелограмма \(AEFD\) имела бы с этой прямой две общие точки \(A\) и \(E\) и по аксиоме А4 проходила бы через всю прямую \(AB\), а вместе с ней — через точку \(D\). На прямой \(AB\) точка \(D\) не лежит: соседние стороны \(AB\) и \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) не лежат на одной прямой. Но через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна, поэтому плоскость параллелограмма \(AEFD\) совпала бы с плоскостью параллелограмма \(ABCD\), что противоречит условию. Значит, прямые \(AB\) и \(AE\) пересекаются в точке \(A\). Аналогично прямые \(DC\) и \(DF\) пересекаются в точке \(D\).
Пересекающиеся прямые \(AB\) и \(AE\) лежат в плоскости \(ABE\), прямые \(DC\) и \(DF\) — в плоскости \(DCF\), причём \(AB \parallel DC\) и \(AE \parallel DF\). По признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(ABE\) и \(DCF\) параллельны.
Ответ: плоскости \(ABE\) и \(DCF\) параллельны.
