Страница 68 номер 6.28, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) — середина ребра \(A_1B_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(M\) параллельно плоскости \(A_1BC_1\). Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно \(a\).
Дано:
куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
ребро куба равно \(a\)
\(M\) — середина ребра \(A_1B_1\)
секущая плоскость проходит через точку \(M\) параллельно плоскости \(A_1BC_1\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Точки \(A_1\) и \(C_1\) принадлежат плоскости верхнего основания и плоскости \(A_1BC_1\), поэтому по аксиоме А4 эти плоскости пересекаются по прямой \(A_1C_1\).
Плоскость верхнего основания пересекает две параллельные плоскости \(A_1BC_1\) и секущую, поэтому прямые пересечения параллельны: секущая плоскость пересекает верхнее основание по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(A_1C_1\). В треугольнике \(A_1B_1C_1\) эта прямая проходит через середину стороны \(A_1B_1\) параллельно стороне \(A_1C_1\), поэтому пересекает сторону \(B_1C_1\) в её середине \(N\), и \(MN\) — средняя линия этого треугольника.
Плоскость грани \(ABB_1A_1\) пересекает плоскость \(A_1BC_1\) по прямой \(A_1B\), а секущую плоскость — по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно \(A_1B\). В треугольнике \(A_1B_1B\) она проходит через середину стороны \(A_1B_1\) параллельно стороне \(A_1B\), поэтому пересекает ребро \(BB_1\) в его середине \(K\), и \(MK\) — средняя линия этого треугольника.
Точки \(N\) и \(K\) принадлежат грани \(BCC_1B_1\) и секущей плоскости, поэтому по аксиоме А4 эта грань пересекается по отрезку \(NK\) — средней линии треугольника \(B_1BC_1\). Сечение — треугольник \(MNK\).
Диагональ грани куба равна \(\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\). Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна, поэтому \(MN = \frac{1}{2}A_1C_1\), \(MK = \frac{1}{2}A_1B\), \(NK = \frac{1}{2}BC_1\), а отрезки \(A_1C_1\), \(A_1B\) и \(BC_1\) — диагонали граней куба. Значит, каждая сторона треугольника \(MNK\) равна \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Треугольник \(MNK\) равносторонний со стороной \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\), значит, его площадь равна
\[S = \frac{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8}.\]
Ответ: \(\frac{a^2\sqrt{3}}{8}\).
Точка \(M\) — середина ребра \(A_1B_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(M\) параллельно плоскости \(A_1BC_1\). Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно \(a\).
Дано:
куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
ребро куба равно \(a\)
\(M\) — середина ребра \(A_1B_1\)
секущая плоскость проходит через точку \(M\) параллельно плоскости \(A_1BC_1\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Точки \(A_1\) и \(C_1\) принадлежат плоскости верхнего основания и плоскости \(A_1BC_1\), поэтому по аксиоме А4 эти плоскости пересекаются по прямой \(A_1C_1\).
Секущая плоскость параллельна плоскости \(A_1BC_1\), а плоскость верхнего основания пересекает обе, поэтому прямые пересечения параллельны: секущая плоскость пересекает верхнее основание по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(A_1C_1\). В треугольнике \(A_1B_1C_1\) эта прямая проходит через середину стороны \(A_1B_1\) параллельно стороне \(A_1C_1\), поэтому она пересекает сторону \(B_1C_1\) в её середине; обозначим эту точку \(N\). Отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника \(A_1B_1C_1\).
Плоскость грани \(ABB_1A_1\) пересекает плоскость \(A_1BC_1\) по прямой \(A_1B\), а секущую плоскость — по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно \(A_1B\). В треугольнике \(A_1B_1B\) эта прямая проходит через середину стороны \(A_1B_1\) параллельно стороне \(A_1B\), поэтому она пересекает ребро \(BB_1\) в его середине; обозначим эту точку \(K\). Отрезок \(MK\) — средняя линия треугольника \(A_1B_1B\).
Точки \(N\) и \(K\) принадлежат грани \(BCC_1B_1\) и секущей плоскости, поэтому по аксиоме А4 эта грань пересекается секущей плоскостью по отрезку \(NK\), и он является средней линией треугольника \(B_1BC_1\). Сечение — треугольник \(MNK\).
Диагональ грани куба равна \(a\sqrt{2}\): в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) по теореме Пифагора гипотенуза равна \(\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\). Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна, поэтому \(MN = \frac{1}{2}A_1C_1\), \(MK = \frac{1}{2}A_1B\), \(NK = \frac{1}{2}BC_1\), а отрезки \(A_1C_1\), \(A_1B\) и \(BC_1\) — диагонали граней куба. Значит, каждая сторона треугольника \(MNK\) равна \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Треугольник \(MNK\) равносторонний со стороной \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\), значит, его площадь равна
\[S = \frac{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8}.\]
Ответ: \(\frac{a^2\sqrt{3}}{8}\).
