Страница 68 номер 6.27, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Постройте сечение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через вершину \(B_1\) параллельно плоскости \(A_1C_1D\). Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно \(a\).
Дано:
куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
ребро куба равно \(a\)
секущая плоскость проходит через вершину \(B_1\) параллельно плоскости \(A_1C_1D\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Грани куба — равные квадраты, поэтому \(AD \parallel BC\) и \(BC \parallel B_1C_1\) как противоположные стороны квадратов \(ABCD\) и \(BCC_1B_1\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, \(AD \parallel B_1C_1\); кроме того, \(AD = BC = B_1C_1\). Четырёхугольник \(ADC_1B_1\) — параллелограмм, откуда \(AB_1 \parallel DC_1\).
Точно так же \(A_1B_1 \parallel DC\) и \(A_1B_1 = DC\), поэтому четырёхугольник \(A_1B_1CD\) — параллелограмм, откуда \(B_1C \parallel A_1D\).
Прямые \(AB_1\) и \(B_1C\) пересекаются в точке \(B_1\) и соответственно параллельны прямым \(DC_1\) и \(DA_1\) плоскости \(A_1C_1D\). Плоскости \(AB_1C\) и \(A_1C_1D\) различны: если бы они совпали, то одна плоскость содержала бы точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\), то есть совпала бы с плоскостью верхнего основания, которой точка \(D\) не принадлежит. По признаку параллельности двух плоскостей \(AB_1C \parallel A_1C_1D\), а такая плоскость через точку \(B_1\) единственна, поэтому искомая секущая плоскость — это плоскость \(AB_1C\).
Точки \(A\) и \(B_1\) принадлежат грани \(ABB_1A_1\), поэтому по аксиоме А4 секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(AB_1\). Так же она пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(B_1C\), а грань \(ABCD\) — по отрезку \(AC\). Сечение — треугольник \(AB_1C\).
Каждая сторона треугольника \(AB_1C\) — диагональ грани куба: в прямоугольном треугольнике \(ABB_1\) катеты \(AB\) и \(BB_1\) равны \(a\), поэтому по теореме Пифагора \(AB_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\); так же \(B_1C = AC = a\sqrt{2}\).
Треугольник \(AB_1C\) равносторонний со стороной \(a\sqrt{2}\), поэтому
\[S = \frac{\left(a\sqrt{2}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\]
Ответ: \(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\).
Постройте сечение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через вершину \(B_1\) параллельно плоскости \(A_1C_1D\). Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно \(a\).
Дано:
куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
ребро куба равно \(a\)
секущая плоскость проходит через вершину \(B_1\) параллельно плоскости \(A_1C_1D\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Грани куба — равные квадраты. Противоположные стороны квадратов \(ABCD\) и \(BCC_1B_1\) дают \(AD \parallel BC\) и \(BC \parallel B_1C_1\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(AD \parallel B_1C_1\); кроме того, \(AD = BC = B_1C_1\). Значит, четырёхугольник \(ADC_1B_1\) — параллелограмм, откуда \(AB_1 \parallel DC_1\).
Точно так же \(A_1B_1 \parallel AB\) и \(AB \parallel DC\), поэтому \(A_1B_1 \parallel DC\) и \(A_1B_1 = DC\). Значит, четырёхугольник \(A_1B_1CD\) — параллелограмм, откуда \(B_1C \parallel A_1D\).
Прямые \(AB_1\) и \(B_1C\) пересекаются в точке \(B_1\) и соответственно параллельны прямым \(DC_1\) и \(DA_1\) плоскости \(A_1C_1D\). Плоскости \(AB_1C\) и \(A_1C_1D\) различны: если бы они совпали, то одна плоскость содержала бы точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\), то есть совпала бы с плоскостью верхнего основания, а точка \(D\) этой плоскости не принадлежит. По признаку параллельности двух плоскостей \(AB_1C \parallel A_1C_1D\).
Через точку в пространстве, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна. Значит, искомая секущая плоскость — это плоскость \(AB_1C\).
Точки \(A\) и \(B_1\) принадлежат грани \(ABB_1A_1\), поэтому по аксиоме А4 секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(AB_1\). Так же она пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(B_1C\), а грань \(ABCD\) — по отрезку \(AC\). Сечение — треугольник \(AB_1C\).
Каждая сторона треугольника \(AB_1C\) — диагональ грани куба. В прямоугольном треугольнике \(ABB_1\) катеты \(AB\) и \(BB_1\) равны \(a\), поэтому по теореме Пифагора \(AB_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\). Так же \(B_1C = a\sqrt{2}\) и \(AC = a\sqrt{2}\).
Треугольник \(AB_1C\) равносторонний со стороной \(a\sqrt{2}\), значит, его площадь равна
\[S = \frac{\left(a\sqrt{2}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\]
Ответ: \(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\).
