Страница 68 номер 6.26, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, то любая прямая, проходящая через точку плоскости \(\alpha\) и параллельная плоскости \(\beta\), лежит в плоскости \(\alpha\).
Пусть \(\alpha \parallel \beta\), точка \(M\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а прямая \(c\) проходит через точку \(M\) и параллельна плоскости \(\beta\).
Предположим, что прямая \(c\) не лежит в плоскости \(\alpha\). Прямая, не лежащая в плоскости, имеет с ней не более одной общей точки, а точка \(M\) — общая точка прямой \(c\) и плоскости \(\alpha\). Значит, прямая \(c\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(M\).
Но если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость. Поэтому прямая \(c\) имеет общую точку и с плоскостью \(\beta\), что противоречит условию \(c \parallel \beta\).
Полученное противоречие означает, что прямая \(c\) лежит в плоскости \(\alpha\).
Ответ: прямая лежит в плоскости \(\alpha\).
Докажите, что если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, то любая прямая, проходящая через точку плоскости \(\alpha\) и параллельная плоскости \(\beta\), лежит в плоскости \(\alpha\).
Пусть \(\alpha \parallel \beta\), точка \(M\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а прямая \(c\) проходит через точку \(M\) и параллельна плоскости \(\beta\). Докажем, что прямая \(c\) лежит в плоскости \(\alpha\).
Предположим, что это не так. Прямая, не лежащая в плоскости, имеет с ней не более одной общей точки, а точка \(M\) — общая точка прямой \(c\) и плоскости \(\alpha\). Значит, прямая \(c\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(M\).
Но если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость. Поэтому прямая \(c\) пересекает и плоскость \(\beta\), то есть имеет с ней общую точку. Это противоречит условию \(c \parallel \beta\), при котором общих точек у прямой \(c\) и плоскости \(\beta\) нет.
Полученное противоречие означает, что прямая \(c\) лежит в плоскости \(\alpha\).
Ответ: прямая лежит в плоскости \(\alpha\).
