Страница 68 номер 6.25, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.
Пусть \(a\) и \(b\) — данные скрещивающиеся прямые.
Отметим на прямой \(a\) точку \(A\); прямой \(b\) она не принадлежит, так как прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются. Через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна; проведём через точку \(A\) прямую \(b_1\), параллельную прямой \(b\). Прямые \(a\) и \(b_1\) различны: если бы они совпали, то было бы \(a \parallel b\) и прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в одной плоскости, а они скрещиваются. Значит, пересекающиеся прямые \(a\) и \(b_1\) задают плоскость \(\alpha\).
Так же отметим на прямой \(b\) точку \(B\) и проведём через неё прямую \(a_1\), параллельную прямой \(a\); пересекающиеся прямые \(b\) и \(a_1\) задают плоскость \(\beta\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны: иначе прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в одной плоскости. Пересекающиеся прямые \(a\) и \(b_1\) плоскости \(\alpha\) соответственно параллельны прямым \(a_1\) и \(b\) плоскости \(\beta\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей \(\alpha \parallel \beta\).
Докажем, что такая пара плоскостей единственна. Пусть \(\alpha_1\) и \(\beta_1\) — параллельные плоскости, для которых \(a \subset \alpha_1\) и \(b \subset \beta_1\). Прямая \(b\) лежит в одной из двух параллельных плоскостей, поэтому \(b \parallel \alpha_1\).
Точка \(A\) не принадлежит прямой \(b\), так как \(A \in a\), а прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются. Через прямую \(b\) и не принадлежащую ей точку \(A\) проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\gamma\). Плоскости \(\gamma\) и \(\alpha_1\) различны, потому что прямая \(b\) лежит в плоскости \(\gamma\) и не лежит в плоскости \(\alpha_1\). Плоскость \(\gamma\) проходит через прямую \(b\), параллельную плоскости \(\alpha_1\), и пересекает плоскость \(\alpha_1\) (их общая точка — \(A\)), поэтому прямая пересечения этих плоскостей параллельна прямой \(b\) и проходит через точку \(A\). Но через точку \(A\) проходит только одна прямая, параллельная прямой \(b\), — прямая \(b_1\), значит, \(b_1 \subset \alpha_1\).
Плоскость \(\alpha_1\) содержит пересекающиеся прямые \(a\) и \(b_1\), а через две пересекающиеся прямые проходит только одна плоскость. Следовательно, плоскость \(\alpha_1\) совпадает с плоскостью \(\alpha\). Аналогично плоскость \(\beta_1\) совпадает с плоскостью \(\beta\).
Ответ: через две скрещивающиеся прямые проходит одна и только одна пара параллельных плоскостей.
Докажите, что через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.
Пусть \(a\) и \(b\) — данные скрещивающиеся прямые.
Отметим на прямой \(a\) точку \(A\); прямой \(b\) она не принадлежит, так как прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются. Проведём через точку \(A\) прямую \(b_1\), параллельную прямой \(b\): через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Прямые \(a\) и \(b_1\) различны: если бы они совпали, то было бы \(a \parallel b\) и прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в одной плоскости, а они скрещиваются. Значит, \(a\) и \(b_1\) — пересекающиеся прямые, и через них проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\).
Так же отметим на прямой \(b\) точку \(B\) и проведём через неё прямую \(a_1\), параллельную прямой \(a\). Пересекающиеся прямые \(b\) и \(a_1\) задают плоскость \(\beta\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны: прямая \(a\) лежит в плоскости \(\alpha\), прямая \(b\) — в плоскости \(\beta\), и если бы эти плоскости совпали, то прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в одной плоскости. Пересекающиеся прямые \(a\) и \(b_1\) плоскости \(\alpha\) соответственно параллельны прямым \(a_1\) и \(b\) плоскости \(\beta\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей \(\alpha \parallel \beta\). Пара параллельных плоскостей, проходящих через данные прямые, построена.
Докажем, что такая пара плоскостей единственна. Пусть \(\alpha_1\) и \(\beta_1\) — параллельные плоскости, для которых \(a \subset \alpha_1\) и \(b \subset \beta_1\).
Прямая \(b\) лежит в одной из двух параллельных плоскостей, поэтому она параллельна другой плоскости: \(b \parallel \alpha_1\).
Точка \(A\) не принадлежит прямой \(b\), так как \(A \in a\), а прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются. Через прямую \(b\) и не принадлежащую ей точку \(A\) проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\gamma\). Плоскости \(\gamma\) и \(\alpha_1\) различны, потому что прямая \(b\) лежит в плоскости \(\gamma\) и не лежит в плоскости \(\alpha_1\). Плоскость \(\gamma\) проходит через прямую \(b\), параллельную плоскости \(\alpha_1\), и пересекает плоскость \(\alpha_1\) (их общая точка — \(A\)), поэтому прямая пересечения этих плоскостей параллельна прямой \(b\). Эта прямая проходит через точку \(A\), а через точку \(A\) проходит только одна прямая, параллельная прямой \(b\), — прямая \(b_1\). Значит, \(b_1 \subset \alpha_1\).
Плоскость \(\alpha_1\) содержит пересекающиеся прямые \(a\) и \(b_1\), а через две пересекающиеся прямые проходит только одна плоскость. Следовательно, плоскость \(\alpha_1\) совпадает с плоскостью \(\alpha\). Аналогично доказывается, что плоскость \(\beta_1\) совпадает с плоскостью \(\beta\).
Ответ: через две скрещивающиеся прямые проходит одна и только одна пара параллельных плоскостей.
