Страница 68 номер 6.23, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(E\) принадлежит основанию \(ABCD\) пирамиды \(MABCD\) (рис. 6.21). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку \(E\) параллельно плоскости \(CMD\).
Плоскость основания и плоскость \(CMD\) имеют общие точки \(C\) и \(D\). По аксиоме А4 прямая \(CD\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, они пересекаются по прямой \(CD\). Секущая плоскость параллельна плоскости \(CMD\), а плоскость основания пересекает их обе, значит, след секущей плоскости в основании — прямая через точку \(E\), параллельная \(CD\); она пересекает сторону \(AD\) в точке \(P\), а сторону \(BC\) — в точке \(Q\).
Так же плоскость грани \(MBC\) пересекает плоскость \(CMD\) по прямой \(MC\), поэтому след на этой грани — прямая через точку \(Q\), параллельная \(MC\); она пересекает ребро \(MB\) в точке \(R\). Плоскость грани \(MAD\) пересекает плоскость \(CMD\) по прямой \(MD\), поэтому след на грани \(MAD\) — прямая через точку \(P\), параллельная \(MD\); она пересекает ребро \(MA\) в точке \(S\).
Точки \(S\) и \(R\) принадлежат грани \(MAB\) и секущей плоскости, поэтому след на этой грани — отрезок \(SR\).
Секущая плоскость пересекла основание и три боковые грани пирамиды, и сечение — четырёхугольник \(PQRS\).
Ответ: сечение — четырёхугольник \(PQRS\), где \(P \in AD\), \(Q \in BC\), \(R \in MB\), \(S \in MA\), причём \(PQ \parallel CD\), \(QR \parallel MC\), \(PS \parallel MD\).
Точка \(E\) принадлежит основанию \(ABCD\) пирамиды \(MABCD\) (рис. 6.21). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку \(E\) параллельно плоскости \(CMD\).
Как видно на рисунке, точка \(E\) лежит внутри основания \(ABCD\) и прямой \(CD\) не принадлежит, а прямая, проведённая через эту точку параллельно \(CD\), пересекает стороны \(AD\) и \(BC\) основания.
Плоскость основания и плоскость \(CMD\) имеют общие точки \(C\) и \(D\). По аксиоме А4 прямая \(CD\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, плоскость основания и плоскость \(CMD\) пересекаются по прямой \(CD\).
Точка \(E\) лежит в плоскости основания, а все общие точки этой плоскости и плоскости \(CMD\) лежат на прямой \(CD\); прямой \(CD\) точка \(E\) не принадлежит, поэтому она не принадлежит и плоскости \(CMD\). Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна, значит, секущая плоскость существует и единственна.
Секущая плоскость параллельна плоскости \(CMD\), а плоскость основания пересекает их обе, значит, прямые пересечения параллельны: след секущей плоскости в основании — прямая, проходящая через точку \(E\) параллельно \(CD\). Она пересекает сторону \(AD\) в точке \(P\), а сторону \(BC\) — в точке \(Q\).
Плоскость грани \(MBC\) пересекает плоскость \(CMD\) по прямой \(MC\), поэтому след на грани \(MBC\) — прямая через точку \(Q\), параллельная \(MC\); она пересекает ребро \(MB\) в точке \(R\). Плоскость грани \(MAD\) пересекает плоскость \(CMD\) по прямой \(MD\), поэтому след на грани \(MAD\) — прямая через точку \(P\), параллельная \(MD\); она пересекает ребро \(MA\) в точке \(S\).
Точки \(S\) и \(R\) принадлежат грани \(MAB\) и секущей плоскости, поэтому след на этой грани — отрезок \(SR\).
Секущая плоскость пересекла основание и три боковые грани пирамиды, и сечение — четырёхугольник \(PQRS\).
Ответ: сечение — четырёхугольник \(PQRS\), где \(P \in AD\), \(Q \in BC\), \(R \in MB\), \(S \in MA\), причём \(PQ \parallel CD\), \(QR \parallel MC\), \(PS \parallel MD\).
