Страница 68 номер 6.22, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(K\) принадлежит грани \(BCD\) тетраэдра \(DABC\) (рис. 6.20). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(K\) параллельно плоскости \(ABD\).
Плоскость грани \(BCD\) и плоскость \(ABD\) имеют общие точки \(B\) и \(D\). По аксиоме А4 прямая \(BD\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, они пересекаются по прямой \(BD\). Секущая плоскость параллельна плоскости \(ABD\), а плоскость грани \(BCD\) пересекает их обе, значит, след секущей плоскости на грани \(BCD\) — прямая через точку \(K\), параллельная \(BD\); она пересекает ребро \(CB\) в точке \(P\), а ребро \(CD\) — в точке \(Q\).
Так же плоскость грани \(ABC\) пересекает плоскость \(ABD\) по прямой \(AB\), поэтому след на грани \(ABC\) — прямая через точку \(P\), параллельная \(AB\); она пересекает ребро \(CA\) в точке \(R\).
Точки \(R\) и \(Q\) принадлежат грани \(ACD\) и секущей плоскости, поэтому след на этой грани — отрезок \(RQ\), а так как плоскость грани \(ACD\) пересекает плоскость \(ABD\) по прямой \(AD\), то \(RQ \parallel AD\).
Секущая плоскость пересекла три грани тетраэдра, и сечение — треугольник \(PQR\).
Ответ: сечение — треугольник \(PQR\), где \(P \in CB\), \(Q \in CD\), \(R \in CA\), причём \(PQ \parallel BD\), \(PR \parallel AB\), \(QR \parallel AD\).
Точка \(K\) принадлежит грани \(BCD\) тетраэдра \(DABC\) (рис. 6.20). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(K\) параллельно плоскости \(ABD\).
Как видно на рисунке, точка \(K\) лежит внутри грани \(BCD\) и ни одной из её сторон не принадлежит.
Плоскость грани \(BCD\) и плоскость \(ABD\) имеют общие точки \(B\) и \(D\). По аксиоме А4 прямая \(BD\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, плоскость грани \(BCD\) и плоскость \(ABD\) пересекаются по прямой \(BD\).
Точка \(K\) лежит в плоскости грани \(BCD\), а все общие точки этой плоскости и плоскости \(ABD\) лежат на прямой \(BD\); прямой \(BD\) точка \(K\) не принадлежит, поэтому она не принадлежит и плоскости \(ABD\). Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна, значит, секущая плоскость существует и единственна.
Секущая плоскость параллельна плоскости \(ABD\), а плоскость грани \(BCD\) пересекает их обе, значит, прямые пересечения параллельны: след секущей плоскости на грани \(BCD\) — прямая, проходящая через точку \(K\) параллельно \(BD\). Она пересекает ребро \(CB\) в точке \(P\), а ребро \(CD\) — в точке \(Q\).
Плоскость грани \(ABC\) пересекает плоскость \(ABD\) по прямой \(AB\), поэтому след секущей плоскости на грани \(ABC\) — прямая, проходящая через точку \(P\) параллельно \(AB\); она пересекает ребро \(CA\) в точке \(R\).
Точки \(R\) и \(Q\) принадлежат грани \(ACD\) и секущей плоскости, поэтому след на этой грани — отрезок \(RQ\). Плоскость грани \(ACD\) пересекает плоскость \(ABD\) по прямой \(AD\), поэтому \(RQ \parallel AD\).
Секущая плоскость пересекла три грани тетраэдра, и сечение — треугольник \(PQR\).
Ответ: сечение — треугольник \(PQR\), где \(P \in CB\), \(Q \in CD\), \(R \in CA\), причём \(PQ \parallel BD\), \(PR \parallel AB\), \(QR \parallel AD\).
