Страница 67 номер 6.21, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(E\) принадлежит ребру \(B_1C_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте линию пересечения плоскостей \(ACC_1\) и \(BED\).
Диагонали \(AC\) и \(BD\) квадрата \(ABCD\) пересекаются; обозначим точку их пересечения \(O\). Она лежит на прямой \(AC\) и потому принадлежит плоскости \(ACC_1\), а также лежит на прямой \(BD\) и потому принадлежит плоскости \(BED\); плоскости имеют общую точку, значит, по аксиоме А5 они пересекаются по прямой.
\(AA_1 \parallel BB_1\) и \(BB_1 \parallel CC_1\) как противоположные стороны квадратов \(ABB_1A_1\) и \(BCC_1B_1\), поэтому \(AA_1 \parallel CC_1\); кроме того, \(AA_1 = CC_1\) как рёбра куба. Значит, \(AA_1C_1C\) — параллелограмм, и диагональ \(A_1C_1\) верхнего основания лежит в плоскости \(ACC_1\).
Точки \(B\) и \(D\) принадлежат плоскости \(BED\) и плоскости основания. По аксиоме А4 прямая \(BD\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, эти плоскости пересекаются по прямой \(BD\). Плоскость \(BED\) содержит точку \(E\) верхнего основания и не совпадает с плоскостью верхнего основания (точка \(B\) ей не принадлежит), значит, эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку \(E\).
По признаку параллельности двух плоскостей основания куба лежат в параллельных плоскостях (\(AB \parallel A_1B_1\) и \(AD \parallel A_1D_1\) как противоположные стороны квадратов-граней, а прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\)). Плоскость \(BED\) пересекает их обе, значит, прямые пересечения параллельны: верхнее основание она пересекает по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно \(BD\). Эта прямая пересекает диагональ \(A_1C_1\) в точке \(Y\).
Точка \(Y\) лежит на прямой \(A_1C_1\) и потому принадлежит плоскости \(ACC_1\), а также лежит на прямой пересечения плоскости \(BED\) с верхним основанием и потому принадлежит плоскости \(BED\). Значит, \(Y\) — вторая общая точка этих плоскостей, и искомая линия пересечения — прямая \(OY\).
Ответ: линия пересечения плоскостей \(ACC_1\) и \(BED\) — прямая \(OY\), где \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) основания, а \(Y\) — точка пересечения диагонали \(A_1C_1\) с прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно \(BD\).
Точка \(E\) принадлежит ребру \(B_1C_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте линию пересечения плоскостей \(ACC_1\) и \(BED\).
Диагонали \(AC\) и \(BD\) квадрата \(ABCD\) пересекаются; обозначим точку их пересечения \(O\). Точка \(O\) лежит на прямой \(AC\) и потому принадлежит плоскости \(ACC_1\), а также лежит на прямой \(BD\) и потому принадлежит плоскости \(BED\). Плоскости \(ACC_1\) и \(BED\) имеют общую точку, значит, по аксиоме А5 они пересекаются по прямой.
Прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны как противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\), прямые \(BB_1\) и \(CC_1\) — как противоположные стороны квадрата \(BCC_1B_1\), поэтому \(AA_1 \parallel CC_1\); кроме того, \(AA_1 = CC_1\) как рёбра куба. Значит, \(AA_1C_1C\) — параллелограмм, и диагональ \(A_1C_1\) верхнего основания лежит в плоскости \(ACC_1\).
Точки \(B\) и \(D\) принадлежат плоскости \(BED\) и плоскости основания. По аксиоме А4 прямая \(BD\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, плоскость \(BED\) и плоскость основания пересекаются по прямой \(BD\). Плоскость \(BED\) содержит точку \(E\) верхнего основания и не совпадает с плоскостью верхнего основания (точка \(B\) ей не принадлежит), значит, эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку \(E\).
Прямые \(AB\) и \(A_1B_1\), а также прямые \(AD\) и \(A_1D_1\) параллельны как противоположные стороны квадратов-граней, а прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей основания куба лежат в параллельных плоскостях. Плоскость \(BED\) пересекает их обе, значит, прямые пересечения параллельны: верхнее основание плоскость \(BED\) пересекает по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно \(BD\). Эта прямая пересекает диагональ \(A_1C_1\) в точке \(Y\).
Точка \(Y\) лежит на прямой \(A_1C_1\) и потому принадлежит плоскости \(ACC_1\), а также лежит на прямой пересечения плоскости \(BED\) с верхним основанием и потому принадлежит плоскости \(BED\). Значит, \(Y\) — вторая общая точка этих плоскостей, и искомая линия пересечения — прямая \(OY\).
Ответ: линия пересечения плоскостей \(ACC_1\) и \(BED\) — прямая \(OY\), где \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) основания, а \(Y\) — точка пересечения диагонали \(A_1C_1\) с прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно \(BD\).
