Страница 67 номер 6.20, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) принадлежит ребру \(A_1D_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте линию пересечения плоскостей \(BDD_1\) и \(CC_1M\).
\(BB_1 \parallel AA_1\) и \(AA_1 \parallel DD_1\) как противоположные стороны квадратов \(ABB_1A_1\) и \(AA_1D_1D\), поэтому \(BB_1 \parallel DD_1\); кроме того, \(BB_1 = DD_1\) как рёбра куба. Значит, \(BDD_1B_1\) — параллелограмм, и диагональ \(B_1D_1\) верхнего основания лежит в плоскости \(BDD_1\).
Если точка \(M\) совпадает с вершиной \(D_1\), то плоскость \(CC_1M\) — это плоскость грани \(DCC_1D_1\); обе плоскости проходят через точки \(D\) и \(D_1\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(DD_1\) принадлежит каждой из них, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, линия их пересечения — прямая \(DD_1\). Пусть далее точка \(M\) отлична от вершины \(D_1\).
Точки \(C_1\) и \(M\) принадлежат плоскости \(CC_1M\) и плоскости верхнего основания. По аксиоме А4 прямая \(C_1M\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, плоскость \(CC_1M\) пересекает плоскость верхнего основания по прямой \(C_1M\). Диагональ \(B_1D_1\) делит квадрат \(A_1B_1C_1D_1\) на два треугольника: точка \(M\) ребра \(A_1D_1\) отлична от \(D_1\) и потому лежит по ту же сторону от прямой \(B_1D_1\), что и вершина \(A_1\), а точка \(C_1\) — по другую, поэтому отрезок \(MC_1\) пересекает прямую \(B_1D_1\); обозначим точку пересечения \(X\). Она принадлежит прямой \(B_1D_1\), а значит, плоскости \(BDD_1\), и прямой \(C_1M\), а значит, плоскости \(CC_1M\); плоскости имеют общую точку, поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой.
Прямые \(DD_1\) и \(CC_1\) параллельны как противоположные стороны квадрата \(DCC_1D_1\). Прямая \(CC_1\) лежит в плоскости \(CC_1M\), а прямая \(DD_1\) ей не принадлежит: плоскость \(CC_1M\) пересекает верхнее основание по прямой \(C_1M\), а точка \(M\) от вершины \(D_1\) отлична, поэтому прямая \(C_1M\) через точку \(D_1\) не проходит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(DD_1 \parallel CC_1M\).
Плоскость \(BDD_1\) проходит через прямую \(DD_1\), параллельную плоскости \(CC_1M\), и пересекает эту плоскость, поэтому линия их пересечения параллельна прямой \(DD_1\), то есть проходит через точку \(X\) параллельно \(DD_1\). В параллелограмме \(BDD_1B_1\) она проходит через точку \(X\) стороны \(B_1D_1\) параллельно стороне \(DD_1\), поэтому пересекает сторону \(BD\) в точке \(Y\).
Ответ: если точка \(M\) совпадает с вершиной \(D_1\), линия пересечения плоскостей \(BDD_1\) и \(CC_1M\) — прямая \(DD_1\); если точка \(M\) отлична от вершины \(D_1\), это прямая \(XY\), где \(X\) — точка пересечения прямых \(C_1M\) и \(B_1D_1\), точка \(Y\) лежит на диагонали \(BD\) и \(XY \parallel DD_1\).
Точка \(M\) принадлежит ребру \(A_1D_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте линию пересечения плоскостей \(BDD_1\) и \(CC_1M\).
Прямые \(BB_1\) и \(AA_1\) параллельны как противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\), прямые \(AA_1\) и \(DD_1\) — как противоположные стороны квадрата \(AA_1D_1D\), поэтому \(BB_1 \parallel DD_1\); кроме того, \(BB_1 = DD_1\) как рёбра куба. Значит, \(BDD_1B_1\) — параллелограмм, и диагональ \(B_1D_1\) верхнего основания лежит в плоскости \(BDD_1\).
Если точка \(M\) совпадает с вершиной \(D_1\), то плоскость \(CC_1M\) — это плоскость грани \(DCC_1D_1\); обе плоскости проходят через точки \(D\) и \(D_1\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(DD_1\) принадлежит каждой из них, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, линия их пересечения — прямая \(DD_1\). Пусть далее точка \(M\) отлична от вершины \(D_1\).
Точки \(C_1\) и \(M\) принадлежат плоскости \(CC_1M\) и плоскости верхнего основания. По аксиоме А4 прямая \(C_1M\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, плоскость \(CC_1M\) пересекает плоскость верхнего основания по прямой \(C_1M\). Диагональ \(B_1D_1\) делит квадрат \(A_1B_1C_1D_1\) на два треугольника: точка \(M\) ребра \(A_1D_1\) отлична от \(D_1\) и потому лежит по ту же сторону от прямой \(B_1D_1\), что и вершина \(A_1\), а точка \(C_1\) — по другую. Значит, отрезок \(MC_1\) пересекает прямую \(B_1D_1\); обозначим точку пересечения \(X\).
Точка \(X\) принадлежит прямой \(B_1D_1\), а значит, плоскости \(BDD_1\), и прямой \(C_1M\), а значит, плоскости \(CC_1M\). Плоскости имеют общую точку, поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой.
Прямые \(DD_1\) и \(CC_1\) параллельны как противоположные стороны квадрата \(DCC_1D_1\). Прямая \(CC_1\) лежит в плоскости \(CC_1M\), а прямая \(DD_1\) этой плоскости не принадлежит: плоскость \(CC_1M\) пересекает плоскость верхнего основания по прямой \(C_1M\), а точка \(M\) от вершины \(D_1\) отлична, поэтому прямая \(C_1M\) через точку \(D_1\) не проходит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(DD_1 \parallel CC_1M\).
Плоскость \(BDD_1\) проходит через прямую \(DD_1\), параллельную плоскости \(CC_1M\), и пересекает плоскость \(CC_1M\). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, линия пересечения плоскостей \(BDD_1\) и \(CC_1M\) проходит через точку \(X\) параллельно \(DD_1\).
В параллелограмме \(BDD_1B_1\) эта прямая проходит через точку \(X\) стороны \(B_1D_1\) параллельно стороне \(DD_1\), поэтому она пересекает сторону \(BD\) в точке \(Y\).
Ответ: если точка \(M\) совпадает с вершиной \(D_1\), линия пересечения плоскостей \(BDD_1\) и \(CC_1M\) — прямая \(DD_1\); если точка \(M\) отлична от вершины \(D_1\), это прямая \(XY\), где \(X\) — точка пересечения прямых \(C_1M\) и \(B_1D_1\), точка \(Y\) лежит на диагонали \(BD\) и \(XY \parallel DD_1\).
