Страница 67 номер 6.19, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AB\) и \(A_1D_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(E\) и \(F\), а на продолжении ребра \(B_1C_1\) за точку \(C_1\) — точку \(K\) (рис. 6.19). Постройте сечение куба плоскостью \(EFK\).
Как видно на рисунке, точка \(E\) лежит на ребре \(AB\) ближе к вершине \(A\), точка \(F\) — на ребре \(A_1D_1\) ближе к вершине \(A_1\), а точка \(K\) — на продолжении ребра \(B_1C_1\) за точку \(C_1\), то есть вне куба.
Точка \(K\) лежит на прямой \(B_1C_1\) плоскости верхней грани, поэтому вместе с точкой \(F\) задаёт след секущей плоскости на этой плоскости — прямую \(FK\). Она пересекает ребро \(C_1D_1\) в точке \(P\), поэтому след на верхней грани — отрезок \(FP\).
Прямые \(AB\) и \(A_1B_1\), а также прямые \(AD\) и \(A_1D_1\) параллельны как противоположные стороны квадратов-граней, а прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей основания \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) лежат в параллельных плоскостях, и следы секущей плоскости на них параллельны. Через точку \(E\), лежащую в плоскости основания, проводим прямую, параллельную \(FK\); она пересекает ребро \(BC\) в точке \(Q\). След в основании — отрезок \(EQ\).
Точки \(Q\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(BB_1C_1C\), поэтому прямая \(QK\) — след секущей плоскости на этой плоскости; она пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(R\), и след на грани \(BB_1C_1C\) — отрезок \(QR\).
Точки \(R\) и \(P\) принадлежат грани \(DCC_1D_1\) и секущей плоскости, поэтому след на этой грани — отрезок \(RP\).
Так же грани \(ABB_1A_1\) и \(DCC_1D_1\) лежат в параллельных плоскостях (\(AB \parallel DC\) и \(AA_1 \parallel DD_1\), а прямые \(AB\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\)), поэтому след на грани \(ABB_1A_1\) параллелен \(RP\): через точку \(E\) проводим прямую, параллельную \(RP\), и она пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(T\). След — отрезок \(ET\), а точки \(T\) и \(F\) принадлежат грани \(AA_1D_1D\) и секущей плоскости, поэтому след на этой грани — отрезок \(TF\).
Секущая плоскость пересекла все шесть граней куба, и сечение — шестиугольник \(EQRPFT\).
Ответ: сечение — шестиугольник \(EQRPFT\), у которого \(E \in AB\), \(Q \in BC\), \(R \in CC_1\), \(P \in C_1D_1\), \(F \in A_1D_1\), \(T \in AA_1\).
На рёбрах \(AB\) и \(A_1D_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(E\) и \(F\), а на продолжении ребра \(B_1C_1\) за точку \(C_1\) — точку \(K\) (рис. 6.19). Постройте сечение куба плоскостью \(EFK\).
Как видно на рисунке, точка \(E\) лежит на ребре \(AB\) ближе к вершине \(A\), точка \(F\) — на ребре \(A_1D_1\) ближе к вершине \(A_1\), а точка \(K\) — на продолжении ребра \(B_1C_1\) за точку \(C_1\), то есть вне куба.
Прямая \(B_1C_1\) лежит в плоскости верхней грани, поэтому точка \(K\) тоже принадлежит этой плоскости. Вместе с точкой \(F\) она задаёт след секущей плоскости на плоскости верхней грани: это прямая \(FK\). Она пересекает ребро \(C_1D_1\) в точке \(P\), поэтому след на верхней грани — отрезок \(FP\).
Прямые \(AB\) и \(A_1B_1\) параллельны как противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\), прямые \(AD\) и \(A_1D_1\) — как противоположные стороны квадрата \(AA_1D_1D\), а прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\). По признаку параллельности двух плоскостей основания \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) лежат в параллельных плоскостях. Секущая плоскость пересекает их обе, поэтому следы параллельны: через точку \(E\), лежащую в плоскости основания, проводим прямую, параллельную \(FK\); она пересекает ребро \(BC\) в точке \(Q\). След в основании — отрезок \(EQ\).
Точки \(Q\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(BB_1C_1C\), поэтому прямая \(QK\) — след секущей плоскости на этой плоскости; она пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(R\), и след на грани \(BB_1C_1C\) — отрезок \(QR\).
Точки \(R\) и \(P\) принадлежат грани \(DCC_1D_1\) и секущей плоскости, поэтому след на этой грани — отрезок \(RP\).
Грани \(ABB_1A_1\) и \(DCC_1D_1\) лежат в параллельных плоскостях (\(AB \parallel DC\) и \(AA_1 \parallel DD_1\) как противоположные стороны квадратов-граней, прямые \(AB\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\)), поэтому след на грани \(ABB_1A_1\) параллелен \(RP\). Через точку \(E\) проводим прямую, параллельную \(RP\); она пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(T\). След на грани \(ABB_1A_1\) — отрезок \(ET\), а точки \(T\) и \(F\) принадлежат грани \(AA_1D_1D\) и секущей плоскости, поэтому след на этой грани — отрезок \(TF\).
Секущая плоскость пересекла все шесть граней куба, и сечение — шестиугольник \(EQRPFT\).
Ответ: сечение — шестиугольник \(EQRPFT\), у которого \(E \in AB\), \(Q \in BC\), \(R \in CC_1\), \(P \in C_1D_1\), \(F \in A_1D_1\), \(T \in AA_1\).
