Страница 67 номер 6.18, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AA_1\) и \(AD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\), а на продолжении ребра \(BB_1\) за точку \(B_1\) — точку \(N\) (рис. 6.18). Постройте сечение куба плоскостью \(MNK\).
Как видно на рисунке, точка \(M\) лежит на ребре \(AA_1\), точка \(K\) — на ребре \(AD\) ближе к вершине \(D\), а точка \(N\) — на продолжении ребра \(BB_1\) за точку \(B_1\), то есть вне куба.
Точки \(M\) и \(K\) принадлежат грани \(AA_1D_1D\) и секущей плоскости, поэтому след секущей плоскости на этой грани — отрезок \(MK\).
Точка \(N\) лежит на прямой \(BB_1\) плоскости грани \(ABB_1A_1\), поэтому вместе с точкой \(M\) задаёт след секущей плоскости на этой плоскости — прямую \(MN\). Она пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(P\), поэтому след на грани \(ABB_1A_1\) — отрезок \(MP\).
Прямые \(AA_1\) и \(BB_1\), а также прямые \(AD\) и \(BC\) параллельны как противоположные стороны квадратов-граней, а прямые \(AA_1\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей грани \(AA_1D_1D\) и \(BB_1C_1C\) лежат в параллельных плоскостях, и следы секущей плоскости на них параллельны. Точка \(N\) принадлежит плоскости грани \(BB_1C_1C\), поэтому через неё проводим прямую, параллельную \(MK\): она пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(R\), а ребро \(CC_1\) — в точке \(T\). След на грани \(BB_1C_1C\) — отрезок \(RT\).
Точки \(P\) и \(R\) принадлежат верхней грани и секущей плоскости, поэтому след на верхней грани — отрезок \(PR\).
Так же основания \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) лежат в параллельных плоскостях, поэтому след в основании параллелен \(PR\): через точку \(K\) проводим прямую, параллельную \(PR\), и она пересекает ребро \(DC\) в точке \(Q\). След в основании — отрезок \(KQ\), а точки \(Q\) и \(T\) принадлежат грани \(DCC_1D_1\) и секущей плоскости, поэтому след на этой грани — отрезок \(QT\).
Секущая плоскость пересекла все шесть граней куба, и сечение — шестиугольник \(MKQTRP\).
Ответ: сечение — шестиугольник \(MKQTRP\), у которого \(M \in AA_1\), \(K \in AD\), \(Q \in DC\), \(T \in CC_1\), \(R \in B_1C_1\), \(P \in A_1B_1\).
На рёбрах \(AA_1\) и \(AD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\), а на продолжении ребра \(BB_1\) за точку \(B_1\) — точку \(N\) (рис. 6.18). Постройте сечение куба плоскостью \(MNK\).
Как видно на рисунке, точка \(M\) лежит на ребре \(AA_1\), точка \(K\) — на ребре \(AD\) ближе к вершине \(D\), а точка \(N\) — на продолжении ребра \(BB_1\) за точку \(B_1\), то есть вне куба.
Точки \(M\) и \(K\) принадлежат грани \(AA_1D_1D\) и секущей плоскости, поэтому след секущей плоскости на этой грани — отрезок \(MK\).
Прямая \(BB_1\) лежит в плоскости грани \(ABB_1A_1\), значит, точка \(N\) тоже принадлежит этой плоскости. Вместе с точкой \(M\) она задаёт след секущей плоскости на плоскости грани \(ABB_1A_1\): это прямая \(MN\). Она пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(P\), поэтому след на грани \(ABB_1A_1\) — отрезок \(MP\).
Прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны как противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\), прямые \(AD\) и \(BC\) — как противоположные стороны квадрата \(ABCD\), а прямые \(AA_1\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\). По признаку параллельности двух плоскостей грани \(AA_1D_1D\) и \(BB_1C_1C\) лежат в параллельных плоскостях. Секущая плоскость пересекает их обе, поэтому следы на этих гранях параллельны. Точка \(N\) принадлежит плоскости грани \(BB_1C_1C\), значит, через точку \(N\) надо провести прямую, параллельную \(MK\): она пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(R\), а ребро \(CC_1\) — в точке \(T\). След на грани \(BB_1C_1C\) — отрезок \(RT\).
Точки \(P\) и \(R\) принадлежат верхней грани и секущей плоскости, поэтому след на верхней грани — отрезок \(PR\).
Прямые \(AB\) и \(A_1B_1\) параллельны как противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\), прямые \(AD\) и \(A_1D_1\) — как противоположные стороны квадрата \(AA_1D_1D\), а прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\). По признаку параллельности двух плоскостей основания \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) лежат в параллельных плоскостях. Секущая плоскость пересекает их обе, поэтому след в основании параллелен \(PR\). Через точку \(K\) проводим прямую, параллельную \(PR\); она пересекает ребро \(DC\) в точке \(Q\). След в основании — отрезок \(KQ\), а точки \(Q\) и \(T\) принадлежат грани \(DCC_1D_1\) и секущей плоскости, поэтому след на этой грани — отрезок \(QT\).
Секущая плоскость пересекла все шесть граней куба, и сечение — шестиугольник \(MKQTRP\).
Ответ: сечение — шестиугольник \(MKQTRP\), у которого \(M \in AA_1\), \(K \in AD\), \(Q \in DC\), \(T \in CC_1\), \(R \in B_1C_1\), \(P \in A_1B_1\).
