Страница 67 номер 6.17, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром \(a\)
\(M\) — середина ребра \(CC_1\)
секущая плоскость проходит через точку \(M\) параллельно плоскости \(A_1BC\)

Найти: периметр сечения.

Решение: Точка \(M\) не принадлежит плоскости \(A_1BC\), а через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна. Значит, секущая плоскость существует и единственна.

Прямые \(BC\) и \(AD\) параллельны как противоположные стороны квадрата \(ABCD\), прямые \(AD\) и \(A_1D_1\) — как противоположные стороны квадрата \(AA_1D_1D\), поэтому \(BC \parallel A_1D_1\); кроме того, \(BC = A_1D_1\) как рёбра куба. Значит, четырёхугольник \(BCD_1A_1\) — параллелограмм, точка \(D_1\) принадлежит плоскости \(A_1BC\), и \(A_1B \parallel CD_1\).

Плоскость грани \(DCC_1D_1\) и плоскость \(A_1BC\) имеют общие точки \(C\) и \(D_1\). По аксиоме А4 прямая \(CD_1\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, плоскость грани \(DCC_1D_1\) и плоскость \(A_1BC\) пересекаются по прямой \(CD_1\). Секущая плоскость параллельна плоскости \(A_1BC\), а плоскость грани \(DCC_1D_1\) пересекает их обе, поэтому след секущей плоскости на этой грани — прямая через точку \(M\), параллельная \(CD_1\). В треугольнике \(CC_1D_1\) эта прямая проходит через середину стороны \(CC_1\) параллельно стороне \(CD_1\), значит, она пересекает сторону \(C_1D_1\) в её середине — точке \(N\), — и отрезок \(MN\) является средней линией треугольника: \(MN = \frac{1}{2}CD_1\).

Плоскость грани \(BCC_1B_1\) пересекает плоскость \(A_1BC\) по прямой \(BC\), поэтому след на этой грани — прямая через точку \(M\), параллельная \(BC\); она пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(L\). Отрезки \(LB\) и \(MC\) лежат на параллельных прямых \(BB_1\) и \(CC_1\), а \(LM \parallel BC\), поэтому \(BCML\) — параллелограмм, откуда \(BL = CM = \frac{a}{2}\) и \(LM = BC = a\).

Плоскость верхней грани пересекает плоскость \(A_1BC\) по прямой \(A_1D_1\), поэтому след на верхней грани — прямая через точку \(N\), параллельная \(A_1D_1\); она пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(K\). Отрезки \(A_1K\) и \(D_1N\) лежат на параллельных прямых \(A_1B_1\) и \(D_1C_1\), а \(KN \parallel A_1D_1\), поэтому \(A_1KND_1\) — параллелограмм, откуда \(A_1K = D_1N = \frac{a}{2}\) и \(NK = D_1A_1 = a\).

Точки \(K\) и \(L\) принадлежат грани \(ABB_1A_1\) и секущей плоскости, поэтому след на этой грани — отрезок \(KL\). В треугольнике \(A_1B_1B\) точка \(K\) — середина стороны \(A_1B_1\), точка \(L\) — середина стороны \(B_1B\), значит, \(KL\) — средняя линия и \(KL = \frac{1}{2}A_1B\).

Сечение — четырёхугольник \(MNKL\). Диагональ квадрата со стороной \(a\) по теореме Пифагора равна \(\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\), поэтому \(CD_1 = A_1B = a\sqrt{2}\) и \(MN = KL = \frac{a\sqrt{2}}{2}\), а \(NK = LM = a\). Противоположные стороны четырёхугольника \(MNKL\) попарно равны, значит, это параллелограмм.

Периметр сечения:

\[P = 2\left(a + \frac{a\sqrt{2}}{2}\right) = 2a + a\sqrt{2} = a\left(2 + \sqrt{2}\right).\]

Ответ: периметр сечения равен \(a\left(2 + \sqrt{2}\right)\).