Страница 67 номер 6.16, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На ребре \(AB\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(M\) так, что \(AM : MB = 1 : 2\) (рис. 6.16). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(M\) и параллельной плоскости \(ACC_1\). Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно \(a\).
Дано:
куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром \(a\)
\(M \in AB\), \(AM : MB = 1 : 2\)
секущая плоскость проходит через точку \(M\) параллельно плоскости \(ACC_1\)
Найти: периметр сечения.
Решение: Точка \(M\) не принадлежит плоскости \(ACC_1\), а через такую точку проходит единственная плоскость, параллельная данной, поэтому секущая плоскость существует и единственна.
\(AA_1 \parallel BB_1\) и \(BB_1 \parallel CC_1\) как противоположные стороны квадратов \(ABB_1A_1\) и \(BCC_1B_1\), поэтому \(AA_1 \parallel CC_1\). Вместе с равенством \(AA_1 = CC_1\) это даёт параллелограмм \(AA_1C_1C\), значит, точка \(A_1\) принадлежит плоскости \(ACC_1\) и \(AC \parallel A_1C_1\).
Плоскость основания \(ABCD\) и плоскость \(ACC_1\) имеют общие точки \(A\) и \(C\). По аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, они пересекаются по прямой \(AC\). Секущая плоскость параллельна плоскости \(ACC_1\), а плоскость основания пересекает их обе, значит, прямые пересечения параллельны: след секущей плоскости в основании — прямая через точку \(M\), параллельная \(AC\); она пересекает ребро \(BC\) в точке \(N\).
Плоскость грани \(ABB_1A_1\) пересекает плоскость \(ACC_1\) по прямой \(AA_1\), поэтому след на этой грани — прямая через точку \(M\), параллельная \(AA_1\); она пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(M_1\). Так же плоскость грани \(BCC_1B_1\) пересекает плоскость \(ACC_1\) по прямой \(CC_1\), и след на этой грани — прямая через точку \(N\), параллельная \(CC_1\); она пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(N_1\). Точки \(M_1\) и \(N_1\) принадлежат верхней грани и секущей плоскости, поэтому след на верхней грани — отрезок \(M_1N_1\).
Сечение — четырёхугольник \(MNN_1M_1\). В квадрате \(ABB_1A_1\) отрезки \(AM\) и \(A_1M_1\) лежат на параллельных прямых \(AB\) и \(A_1B_1\), а \(MM_1 \parallel AA_1\), поэтому \(AMM_1A_1\) — параллелограмм и \(MM_1 = AA_1 = a\); так же \(NN_1 = CC_1 = a\). Поскольку \(MM_1 \parallel AA_1\), \(NN_1 \parallel CC_1\) и \(AA_1 \parallel CC_1\), то \(MM_1 \parallel NN_1\), и \(MNN_1M_1\) — параллелограмм.
В треугольнике \(ABC\) прямая \(MN\) параллельна стороне \(AC\), поэтому \(\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC}\). По условию \(AM : MB = 1 : 2\), значит, \(BM = \frac{2}{3}AB\) и \(MN = \frac{2}{3}AC\). Диагональ квадрата \(ABCD\) со стороной \(a\) по теореме Пифагора равна \(AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\), поэтому \(MN = \frac{2\sqrt{2}}{3}a\).
Периметр сечения:
\[\begin{aligned} &P = 2(MN + MM_1) = 2\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}a + a\right) = {} \\ &= \frac{4\sqrt{2}a}{3} + 2a = \frac{2a\left(2\sqrt{2} + 3\right)}{3}. \end{aligned}\]
Ответ: периметр сечения равен \(\frac{2a\left(2\sqrt{2} + 3\right)}{3}\).
На ребре \(AB\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(M\) так, что \(AM : MB = 1 : 2\) (рис. 6.16). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(M\) и параллельной плоскости \(ACC_1\). Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно \(a\).
Дано:
куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром \(a\)
\(M \in AB\), \(AM : MB = 1 : 2\)
секущая плоскость проходит через точку \(M\) параллельно плоскости \(ACC_1\)
Найти: периметр сечения.
Решение: Точка \(M\) не принадлежит плоскости \(ACC_1\), а через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна. Значит, секущая плоскость существует и единственна.
Прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны как противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\), прямые \(BB_1\) и \(CC_1\) — как противоположные стороны квадрата \(BCC_1B_1\); две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, поэтому \(AA_1 \parallel CC_1\). Вместе с равенством \(AA_1 = CC_1\) это даёт параллелограмм \(AA_1C_1C\), значит, точка \(A_1\) принадлежит плоскости \(ACC_1\) и \(AC \parallel A_1C_1\).
Плоскость основания \(ABCD\) и плоскость \(ACC_1\) имеют общие точки \(A\) и \(C\). По аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, плоскость основания и плоскость \(ACC_1\) пересекаются по прямой \(AC\). Секущая плоскость параллельна плоскости \(ACC_1\), а плоскость основания пересекает их обе, значит, прямые пересечения параллельны: след секущей плоскости в основании — прямая, проходящая через точку \(M\) параллельно прямой \(AC\). Она пересекает ребро \(BC\) в точке \(N\).
Плоскость грани \(ABB_1A_1\) пересекает плоскость \(ACC_1\) по прямой \(AA_1\), поэтому след секущей плоскости на этой грани — прямая через точку \(M\), параллельная \(AA_1\); она пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(M_1\). Так же плоскость грани \(BCC_1B_1\) пересекает плоскость \(ACC_1\) по прямой \(CC_1\), поэтому след на этой грани — прямая через точку \(N\), параллельная \(CC_1\); она пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(N_1\). Точки \(M_1\) и \(N_1\) принадлежат верхней грани и секущей плоскости, поэтому след на верхней грани — отрезок \(M_1N_1\).
Сечение — четырёхугольник \(MNN_1M_1\). В квадрате \(ABB_1A_1\) отрезки \(AM\) и \(A_1M_1\) лежат на параллельных прямых \(AB\) и \(A_1B_1\), а \(MM_1 \parallel AA_1\), поэтому \(AMM_1A_1\) — параллелограмм и \(MM_1 = AA_1 = a\). Так же \(NN_1 = CC_1 = a\). Поскольку \(MM_1 \parallel AA_1\) и \(NN_1 \parallel CC_1\), а \(AA_1 \parallel CC_1\), то \(MM_1 \parallel NN_1\), и четырёхугольник \(MNN_1M_1\) — параллелограмм.
В треугольнике \(ABC\) прямая \(MN\) параллельна стороне \(AC\), поэтому \(\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}\). По условию \(AM : MB = 1 : 2\), значит, \(BM = \frac{2}{3}AB\), откуда \(BN : NC = 2 : 1\) и \(MN = \frac{2}{3}AC\).
Диагональ \(AC\) квадрата \(ABCD\) со стороной \(a\) по теореме Пифагора равна \(AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\), поэтому \(MN = \frac{2\sqrt{2}}{3}a\).
Периметр сечения:
\[\begin{aligned} &P = 2(MN + MM_1) = 2\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}a + a\right) = {} \\ &= \frac{4\sqrt{2}a}{3} + 2a = \frac{2a\left(2\sqrt{2} + 3\right)}{3}. \end{aligned}\]
Ответ: периметр сечения равен \(\frac{2a\left(2\sqrt{2} + 3\right)}{3}\).
