Страница 67 номер 6.15, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что плоскости \(ACB_1\) и \(A_1C_1D\) параллельны.
Все грани куба — равные квадраты.
\(AA_1 \parallel BB_1\) и \(BB_1 \parallel CC_1\) как противоположные стороны квадратов \(ABB_1A_1\) и \(BCC_1B_1\), поэтому \(AA_1 \parallel CC_1\). Параллельные прямые лежат в одной плоскости, значит, точки \(A\), \(A_1\), \(C_1\), \(C\) лежат в одной плоскости; кроме того, \(AA_1 = CC_1\) как рёбра куба. Четырёхугольник \(AA_1C_1C\), у которого стороны \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны и равны, — параллелограмм, поэтому \(AC \parallel A_1C_1\).
Точно так же \(AD \parallel A_1D_1\) и \(A_1D_1 \parallel B_1C_1\) (противоположные стороны квадратов \(AA_1D_1D\) и \(A_1B_1C_1D_1\)), значит, \(AD \parallel B_1C_1\) и \(AD = B_1C_1\). Точки \(A\), \(B_1\), \(C_1\), \(D\) лежат в плоскости параллельных прямых \(AD\) и \(B_1C_1\), а четырёхугольник \(AB_1C_1D\), у которого стороны \(B_1C_1\) и \(AD\) параллельны и равны, — параллелограмм, откуда \(AB_1 \parallel DC_1\).
Прямые \(AC\) и \(AB_1\) лежат в плоскости \(ACB_1\) и пересекаются в точке \(A\), а прямые \(A_1C_1\) и \(DC_1\) лежат в плоскости \(A_1C_1D\). Поскольку \(AC \parallel A_1C_1\) и \(AB_1 \parallel DC_1\), по признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(ACB_1\) и \(A_1C_1D\) параллельны.
Ответ: плоскости \(ACB_1\) и \(A_1C_1D\) параллельны.
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что плоскости \(ACB_1\) и \(A_1C_1D\) параллельны.
Все грани куба — равные квадраты.
Прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) — противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\), поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\); прямые \(BB_1\) и \(CC_1\) — противоположные стороны квадрата \(BCC_1B_1\), поэтому \(BB_1 \parallel CC_1\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, \(AA_1 \parallel CC_1\). Параллельные прямые лежат в одной плоскости, поэтому точки \(A\), \(A_1\), \(C_1\), \(C\) лежат в одной плоскости. Кроме того, \(AA_1 = CC_1\) как рёбра куба. Четырёхугольник \(AA_1C_1C\), у которого стороны \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны и равны, — параллелограмм, поэтому \(AC \parallel A_1C_1\).
Точно так же \(AD \parallel A_1D_1\) (противоположные стороны квадрата \(AA_1D_1D\)) и \(A_1D_1 \parallel B_1C_1\) (противоположные стороны квадрата \(A_1B_1C_1D_1\)), значит, \(AD \parallel B_1C_1\), причём \(AD = A_1D_1 = B_1C_1\). Точки \(A\), \(B_1\), \(C_1\), \(D\) лежат в одной плоскости — в плоскости параллельных прямых \(AD\) и \(B_1C_1\), — а четырёхугольник \(AB_1C_1D\), у которого стороны \(B_1C_1\) и \(AD\) параллельны и равны, является параллелограммом. Отсюда \(AB_1 \parallel DC_1\).
Прямые \(AC\) и \(AB_1\) лежат в плоскости \(ACB_1\) и пересекаются в точке \(A\), а прямые \(A_1C_1\) и \(DC_1\) лежат в плоскости \(A_1C_1D\). Поскольку \(AC \parallel A_1C_1\) и \(AB_1 \parallel DC_1\), по признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(ACB_1\) и \(A_1C_1D\) параллельны.
Ответ: плоскости \(ACB_1\) и \(A_1C_1D\) параллельны.
