Страница 66 номер 6.14, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Отрезки \(AB\), \(CD\) и \(EF\), не лежащие в одной плоскости, пересекаются в точке \(O\), являющейся серединой каждого из этих отрезков. Докажите, что плоскости \(ACE\) и \(BDF\) параллельны.
Прямые \(AB\) и \(CD\) имеют общую точку \(O\) и задают плоскость. В ней отрезки \(AB\) и \(CD\) — диагонали четырёхугольника \(ACBD\), которые точкой \(O\) делятся пополам, поэтому \(ACBD\) — параллелограмм и \(AC \parallel BD\). Аналогично прямые \(AB\) и \(EF\) задают плоскость, в которой \(AEBF\) — параллелограмм, значит, \(AE \parallel BF\).
Точки \(A\), \(C\) и \(E\) не лежат на одной прямой: если бы точка \(E\) лежала на прямой \(AC\), она принадлежала бы плоскости \(ABC\), и тогда плоскости \(ABE\) и \(ABC\) совпали бы, так как по аксиоме А3 через три точки \(A\), \(B\), \(E\), не лежащие на одной прямой, проходит только одна плоскость. Но плоскость \(ABC\) содержит отрезок \(CD\), плоскость \(ABE\) — отрезок \(EF\), и все три отрезка оказались бы в одной плоскости, что противоречит условию.
Значит, \(AC\) и \(AE\) — две пересекающиеся в точке \(A\) прямые плоскости \(ACE\), а \(BD\) и \(BF\) — прямые плоскости \(BDF\). Эти плоскости различны: если бы они совпали, то эта плоскость содержала бы все шесть точек, а вместе с ними и все три отрезка.
Две пересекающиеся прямые \(AC\) и \(AE\) плоскости \(ACE\) соответственно параллельны прямым \(BD\) и \(BF\) плоскости \(BDF\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей \(ACE \parallel BDF\).
Ответ: плоскости \(ACE\) и \(BDF\) параллельны.
Отрезки \(AB\), \(CD\) и \(EF\), не лежащие в одной плоскости, пересекаются в точке \(O\), являющейся серединой каждого из этих отрезков. Докажите, что плоскости \(ACE\) и \(BDF\) параллельны.
Прямые \(AB\), \(CD\) и \(EF\) попарно различны: если бы какие-то две из них совпали, то эта прямая и третья имели бы общую точку \(O\), а через две прямые с общей точкой проходит плоскость — и в ней лежали бы все три отрезка, что противоречит условию. Две различные прямые не могут иметь двух общих точек, поэтому единственная общая точка любых двух из этих прямых — точка \(O\), и ни одна из точек \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) не лежит сразу на двух из них.
Прямые \(AB\) и \(CD\) имеют общую точку \(O\), а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна. В этой плоскости отрезки \(AB\) и \(CD\) — диагонали четырёхугольника \(ACBD\), и точкой \(O\) каждая из них делится пополам. Четырёхугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, — параллелограмм, поэтому \(ACBD\) — параллелограмм и \(AC \parallel BD\).
Аналогично прямые \(AB\) и \(EF\) задают плоскость, в которой отрезки \(AB\) и \(EF\) — диагонали четырёхугольника \(AEBF\), делящиеся точкой \(O\) пополам. Значит, \(AEBF\) — параллелограмм и \(AE \parallel BF\).
Точки \(A\), \(C\) и \(E\) не лежат на одной прямой. Действительно, если бы точка \(E\) лежала на прямой \(AC\), то она принадлежала бы плоскости \(ABC\); тогда плоскости \(ABE\) и \(ABC\) совпали бы, так как обе проходят через точки \(A\), \(B\) и \(E\), а эти три точки на одной прямой не лежат (точка \(E\) не принадлежит прямой \(AB\)), и по аксиоме А3 плоскость через них только одна. Но плоскость \(ABC\) содержит отрезок \(CD\), плоскость \(ABE\) — отрезок \(EF\), и все три отрезка оказались бы в одной плоскости, что противоречит условию.
Значит, \(AC\) и \(AE\) — две пересекающиеся прямые плоскости \(ACE\) (они пересекаются в точке \(A\)), а \(BD\) и \(BF\) — прямые плоскости \(BDF\).
Плоскости \(ACE\) и \(BDF\) различны: если бы они совпали, то эта плоскость содержала бы все шесть точек, а вместе с ними и все три отрезка.
Две пересекающиеся прямые \(AC\) и \(AE\) плоскости \(ACE\) соответственно параллельны прямым \(BD\) и \(BF\) плоскости \(BDF\), поэтому по признаку параллельности двух плоскостей \(ACE \parallel BDF\).
Ответ: плоскости \(ACE\) и \(BDF\) параллельны.
