Страница 66 номер 6.13, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\), точки \(C\) и \(D\) — в плоскости \(\beta\). Отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). 1) Докажите, что \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\). 2) Найдите отрезок \(AB\), если \(CD = 32\) см, \(AC : AO = 7 : 3\).
Дано:
\(\alpha \parallel \beta\)
\(A \in \alpha\), \(B \in \alpha\)
\(C \in \beta\), \(D \in \beta\)
\(AC \cap BD = O\)
\(CD = 32\) см
\(AC : AO = 7 : 3\)
Доказать: \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\).
Найти: отрезок \(AB\).
Решение:
1) Прямые \(AC\) и \(BD\) имеют общую точку \(O\), через них проходит единственная плоскость; обозначим её \(\gamma\).
Точки \(A\) и \(B\) лежат на этих прямых и потому принадлежат плоскости \(\gamma\), а также принадлежат плоскости \(\alpha\). По аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, \(\gamma \cap \alpha = AB\), и аналогично \(\gamma \cap \beta = CD\). Плоскость \(\gamma\) пересекает параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\), поэтому \(AB \parallel CD\).
В треугольниках \(AOB\) и \(COD\) углы \(AOB\) и \(COD\) равны как вертикальные, а углы \(OAB\) и \(OCD\) — как накрест лежащие при параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\), поэтому треугольники подобны по двум углам и
\[\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD}.\]
В частности, \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\).
2) Отрезок \(AC\) состоит из \(7\) частей, на отрезок \(AO\) приходится \(3\) части, а на отрезок \(OC\) — \(7 - 3 = 4\) части, то есть \(\frac{AO}{OC} = \frac{3}{4}\). Из равенства \(\frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC}\) получаем \(\frac{AB}{32} = \frac{3}{4}\), откуда \(AB = 32 \cdot \frac{3}{4} = 24\) (см).
Ответ: 1) \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\); 2) \(AB = 24\) см.
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\), точки \(C\) и \(D\) — в плоскости \(\beta\). Отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). 1) Докажите, что \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\). 2) Найдите отрезок \(AB\), если \(CD = 32\) см, \(AC : AO = 7 : 3\).
Дано:
\(\alpha \parallel \beta\)
\(A \in \alpha\), \(B \in \alpha\)
\(C \in \beta\), \(D \in \beta\)
\(AC \cap BD = O\)
\(CD = 32\) см
\(AC : AO = 7 : 3\)
Доказать: \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\).
Найти: отрезок \(AB\).
Решение:
1) Прямые \(AC\) и \(BD\) имеют общую точку \(O\), а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\gamma\).
Точки \(A\) и \(B\) лежат на прямых \(AC\) и \(BD\), значит, обе принадлежат плоскости \(\gamma\); кроме того, обе принадлежат плоскости \(\alpha\). По аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, \(\gamma \cap \alpha = AB\). Аналогично \(\gamma \cap \beta = CD\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(\gamma\) пересекает их, поэтому прямые пересечения параллельны: \(AB \parallel CD\).
В треугольниках \(AOB\) и \(COD\) углы \(AOB\) и \(COD\) равны как вертикальные, а углы \(OAB\) и \(OCD\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\). Значит, треугольники \(AOB\) и \(COD\) подобны по двум углам, и потому
\[\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD}.\]
В частности, \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\).
2) По условию отрезок \(AC\) состоит из \(7\) частей, из которых на отрезок \(AO\) приходится \(3\) части. Тогда на отрезок \(OC\) приходится \(7 - 3 = 4\) части, то есть \(\frac{AO}{OC} = \frac{3}{4}\).
Из равенства \(\frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC}\) получаем \(\frac{AB}{32} = \frac{3}{4}\), откуда \(AB = 32 \cdot \frac{3}{4} = 24\) (см).
Ответ: 1) \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\); 2) \(AB = 24\) см.
