Страница 66 номер 6.12, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(\alpha \parallel \beta\)
\(\alpha\) пересекает сторону \(BA\) угла \(ABC\) в точке \(A_1\), сторону \(BC\) — в точке \(C_1\)
\(\beta\) пересекает сторону \(BA\) в точке \(A_2\), сторону \(BC\) — в точке \(C_2\)
1) \(A_2C_2 = 36\) см, \(BA_1 : BA_2 = 5 : 9\)
2) \(A_1C_1 = 14\) см, \(A_2C_2 = 21\) см, \(BC_1 = 12\) см

Найти: 1) отрезок \(A_1C_1\); 2) отрезок \(C_1C_2\).

Решение: Стороны угла \(ABC\) — две пересекающиеся прямые, а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\gamma\).

Точки \(A_1\) и \(C_1\) принадлежат плоскости \(\gamma\) и плоскости \(\alpha\). По аксиоме А4 прямая \(A_1C_1\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; значит, \(\gamma \cap \alpha = A_1C_1\). Аналогично \(\gamma \cap \beta = A_2C_2\).

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(\gamma\) пересекает их, поэтому прямые пересечения параллельны: \(A_1C_1 \parallel A_2C_2\).

В треугольниках \(BA_1C_1\) и \(BA_2C_2\) угол \(B\) общий, а углы \(BA_1C_1\) и \(BA_2C_2\) равны как соответственные при параллельных прямых \(A_1C_1\) и \(A_2C_2\) и секущей \(BA\). Значит, треугольники \(BA_1C_1\) и \(BA_2C_2\) подобны по двум углам, и потому

\[\frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{BA_1}{BA_2} = \frac{BC_1}{BC_2}.\]

1) Из \(\frac{A_1C_1}{36} = \frac{5}{9}\) получаем \(A_1C_1 = 36 \cdot \frac{5}{9} = 20\) (см).

2) Коэффициент подобия равен \(\frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}\), поэтому \(\frac{BC_1}{BC_2} = \frac{2}{3}\) и \(BC_2 = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18\) (см).

Точки \(C_1\) и \(C_2\) лежат на луче \(BC\), причём \(BC_1 < BC_2\), поэтому точка \(C_1\) лежит между точками \(B\) и \(C_2\), и тогда \(C_1C_2 = BC_2 - BC_1 = 18 - 12 = 6\) (см).

Ответ: 1) \(A_1C_1 = 20\) см; 2) \(C_1C_2 = 6\) см.