Страница 66 номер 6.11, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\). Точки \(M\) и \(N\) лежат в плоскости \(\alpha\), точки \(K\) и \(P\) — в плоскости \(\beta\) (рис. 6.15). Постройте линию пересечения: 1) плоскости \(\alpha\) и плоскости \(MKP\); 2) плоскости \(\beta\) и плоскости \(MNK\).
1) Точки \(K\) и \(P\) принадлежат и плоскости \(\beta\), и плоскости \(MKP\), а эти плоскости различны, так как точка \(M\) лежит в плоскости \(\alpha\) и потому плоскости \(\beta\) не принадлежит. По аксиоме А4 прямая \(KP\) лежит в каждой из них, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому плоскости \(\beta\) и \(MKP\) пересекаются по прямой \(KP\).
Плоскость \(MKP\) имеет с плоскостью \(\alpha\) общую точку \(M\) и отлична от неё, поскольку точка \(K\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и точка \(M\), как их общая точка, лежит на этой прямой.
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(MKP\) пересекает каждую из них, поэтому прямые пересечения параллельны. Искомая линия пересечения — прямая, которая проходит в плоскости \(\alpha\) через точку \(M\) параллельно прямой \(KP\).
2) Так же точки \(M\) и \(N\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(MNK\), а эти плоскости различны, так как точка \(K\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит, поэтому по аксиоме А4 плоскости \(\alpha\) и \(MNK\) пересекаются по прямой \(MN\). Плоскость \(MNK\) имеет с плоскостью \(\beta\) общую точку \(K\) и отлична от неё, поскольку точка \(M\) плоскости \(\beta\) не принадлежит, поэтому по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку \(K\). Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(MNK\) пересекает каждую из них, поэтому прямые пересечения параллельны: искомая линия пересечения — прямая, которая проходит в плоскости \(\beta\) через точку \(K\) параллельно прямой \(MN\).
Ответ: 1) линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(MKP\) — прямая, проходящая через точку \(M\) параллельно прямой \(KP\); 2) линия пересечения плоскостей \(\beta\) и \(MNK\) — прямая, проходящая через точку \(K\) параллельно прямой \(MN\).
Даны параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\). Точки \(M\) и \(N\) лежат в плоскости \(\alpha\), точки \(K\) и \(P\) — в плоскости \(\beta\) (рис. 6.15). Постройте линию пересечения: 1) плоскости \(\alpha\) и плоскости \(MKP\); 2) плоскости \(\beta\) и плоскости \(MNK\).
1) Точки \(K\) и \(P\) принадлежат и плоскости \(\beta\), и плоскости \(MKP\). Эти плоскости различны, так как точка \(M\) лежит в плоскости \(\alpha\) и потому плоскости \(\beta\) не принадлежит. По аксиоме А4 прямая \(KP\) лежит в каждой из них, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому плоскости \(\beta\) и \(MKP\) пересекаются по прямой \(KP\).
Плоскость \(MKP\) имеет с плоскостью \(\alpha\) общую точку \(M\) и отлична от неё, поскольку точка \(K\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и точка \(M\), как их общая точка, лежит на этой прямой.
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(MKP\) пересекает каждую из них, поэтому прямые пересечения параллельны. Искомая линия пересечения — прямая, которая проходит в плоскости \(\alpha\) через точку \(M\) параллельно прямой \(KP\).
2) Точки \(M\) и \(N\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(MNK\), а эти плоскости различны, так как точка \(K\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит. По аксиоме А4 прямая \(MN\) лежит в каждой из них, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому плоскости \(\alpha\) и \(MNK\) пересекаются по прямой \(MN\).
Плоскость \(MNK\) имеет с плоскостью \(\beta\) общую точку \(K\) и отлична от неё, поскольку точка \(M\) плоскости \(\beta\) не принадлежит. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и точка \(K\), как их общая точка, лежит на этой прямой.
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(MNK\) пересекает каждую из них, поэтому прямые пересечения параллельны. Искомая линия пересечения — прямая, которая проходит в плоскости \(\beta\) через точку \(K\) параллельно прямой \(MN\).
Ответ: 1) линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(MKP\) — прямая, проходящая через точку \(M\) параллельно прямой \(KP\); 2) линия пересечения плоскостей \(\beta\) и \(MNK\) — прямая, проходящая через точку \(K\) параллельно прямой \(MN\).
