Страница 53 номер 5.9, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(M\) и \(K\) — середины соответственно сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\). Точка \(D\) не принадлежит плоскости \(ABC\). Докажите, что \(MK \parallel ADC\).
Точки \(A\), \(D\) и \(C\) не лежат на одной прямой: прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(D\) этой плоскости не принадлежит. Значит, по аксиоме А3 через эти три точки проходит плоскость и притом только одна — это и есть плоскость \(ADC\).
Отрезок \(MK\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\), значит, \(MK\) — средняя линия этого треугольника и \(MK \parallel AC\).
Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ADC\), а прямая \(MK\) этой плоскости не принадлежит: иначе плоскости \(ADC\) принадлежала бы точка \(M\), а вместе с точкой \(A\) — две точки прямой \(AB\), и по аксиоме А4 этой плоскости принадлежала бы вся прямая \(AB\), в том числе точка \(B\). Тогда плоскость \(ADC\) содержала бы три точки \(A\), \(B\) и \(C\), не лежащие на одной прямой, и по аксиоме А3 совпала бы с плоскостью \(ABC\), что противоречит условию: точка \(D\) плоскости \(ABC\) не принадлежит.
По признаку параллельности прямой и плоскости \(MK \parallel ADC\).
Ответ: прямая \(MK\) параллельна плоскости \(ADC\).
Точки \(M\) и \(K\) — середины соответственно сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\). Точка \(D\) не принадлежит плоскости \(ABC\). Докажите, что \(MK \parallel ADC\).
Точки \(A\), \(D\) и \(C\) не лежат на одной прямой: прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(D\) этой плоскости не принадлежит. Значит, по аксиоме А3 через эти три точки проходит плоскость и притом только одна — это и есть плоскость \(ADC\).
Отрезок \(MK\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\), значит, \(MK\) — средняя линия этого треугольника и \(MK \parallel AC\).
Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ADC\), а прямая \(MK\) этой плоскости не принадлежит. Действительно, если бы прямая \(MK\) принадлежала плоскости \(ADC\), то этой плоскости принадлежала бы точка \(M\), а вместе с точкой \(A\) — две точки прямой \(AB\). Тогда по аксиоме А4 плоскости \(ADC\) принадлежала бы вся прямая \(AB\), а значит, и точка \(B\). Плоскость \(ADC\) содержала бы три точки \(A\), \(B\) и \(C\), не лежащие на одной прямой, и по аксиоме А3 совпала бы с плоскостью \(ABC\), что противоречит условию: точка \(D\) плоскости \(ABC\) не принадлежит.
По признаку параллельности прямой и плоскости \(MK \parallel ADC\).
Ответ: прямая \(MK\) параллельна плоскости \(ADC\).
