Страница 53 номер 5.8, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Вершины \(E\) и \(F\) правильного шестиугольника \(ABCDEF\) лежат в плоскости \(\alpha\), отличной от плоскости шестиугольника (рис. 5.15). Каково взаимное расположение плоскости \(\alpha\) и прямой: 1) \(BC\); 2) \(AB\); 3) \(BD\); 4) \(AD\)?
Точки \(E\) и \(F\) принадлежат плоскости \(\alpha\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(EF\) принадлежит плоскости \(\alpha\).
Пусть \(O\) — центр правильного шестиугольника \(ABCDEF\). Большие диагонали разбивают его на шесть равносторонних треугольников, поэтому \(\angle OFE = 60^\circ\) и \(\angle FOA = 60^\circ\). Это накрест лежащие углы при прямых \(EF\) и \(AD\) и секущей \(OF\), значит, \(EF \parallel AD\). Так же из равенства \(\angle OCB = \angle COD = 60^\circ\) получаем \(BC \parallel AD\), а тогда \(BC \parallel EF\) как две прямые, параллельные прямой \(AD\).
Прямые \(AB\) и \(BD\) прямой \(EF\) не параллельны: иначе через точку \(A\) проходили бы две различные прямые \(AB\) и \(AD\), параллельные прямой \(EF\), а через точку \(D\) — две различные прямые \(BD\) и \(AD\), тогда как через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
1) Прямая \(BC\) параллельна прямой \(EF\), лежащей в плоскости \(\alpha\). Плоскости \(\alpha\) прямая \(BC\) не принадлежит: иначе плоскость \(\alpha\) содержала бы две параллельные прямые \(BC\) и \(EF\), а через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна — плоскость \(\alpha\) совпала бы с плоскостью шестиугольника, что противоречит условию. По признаку параллельности прямой и плоскости \(BC \parallel \alpha\).
2) Прямые \(AB\) и \(EF\) лежат в плоскости шестиугольника и не параллельны, поэтому они пересекаются, и их общая точка принадлежит прямой \(EF\), а значит, и плоскости \(\alpha\). Плоскости \(\alpha\) прямая \(AB\) не принадлежит: иначе плоскость \(\alpha\) содержала бы две пересекающиеся прямые \(AB\) и \(EF\), а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна — плоскость \(\alpha\) совпала бы с плоскостью шестиугольника. Прямая \(AB\) имеет с плоскостью \(\alpha\) общую точку и этой плоскости не принадлежит, следовательно, она пересекает плоскость \(\alpha\).
3) Прямые \(BD\) и \(EF\) тоже пересекаются, и их общая точка принадлежит плоскости \(\alpha\), а плоскости \(\alpha\) прямая \(BD\) не принадлежит по той же причине, что и прямая \(AB\). Значит, прямая \(BD\) пересекает плоскость \(\alpha\).
4) Прямая \(AD\) параллельна прямой \(EF\), лежащей в плоскости \(\alpha\), и плоскости \(\alpha\) не принадлежит — по той же причине, что и прямая \(BC\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(AD \parallel \alpha\).
Ответ: 1) прямая \(BC\) параллельна плоскости \(\alpha\); 2) прямая \(AB\) пересекает плоскость \(\alpha\); 3) прямая \(BD\) пересекает плоскость \(\alpha\); 4) прямая \(AD\) параллельна плоскости \(\alpha\).
Вершины \(E\) и \(F\) правильного шестиугольника \(ABCDEF\) лежат в плоскости \(\alpha\), отличной от плоскости шестиугольника (рис. 5.15). Каково взаимное расположение плоскости \(\alpha\) и прямой: 1) \(BC\); 2) \(AB\); 3) \(BD\); 4) \(AD\)?
Точки \(E\) и \(F\) принадлежат плоскости \(\alpha\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(EF\) принадлежит плоскости \(\alpha\).
Пусть \(O\) — центр правильного шестиугольника \(ABCDEF\). Большие диагонали разбивают его на шесть равносторонних треугольников, поэтому \(\angle OFE = 60^\circ\) и \(\angle FOA = 60^\circ\). Это накрест лежащие углы при прямых \(EF\) и \(AD\) и секущей \(OF\), значит, \(EF \parallel AD\). Так же из равенства \(\angle OCB = \angle COD = 60^\circ\) получаем \(BC \parallel AD\), а тогда \(BC \parallel EF\) как две прямые, параллельные прямой \(AD\).
Прямые \(AB\) и \(BD\) прямой \(EF\) не параллельны: если бы \(AB \parallel EF\), то через точку \(A\) проходили бы две различные прямые \(AB\) и \(AD\), параллельные прямой \(EF\), а через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна; если бы \(BD \parallel EF\), то же самое получилось бы для прямых \(BD\) и \(AD\), проходящих через точку \(D\).
1) Прямая \(BC\) параллельна прямой \(EF\), лежащей в плоскости \(\alpha\). Плоскости \(\alpha\) прямая \(BC\) не принадлежит: иначе плоскость \(\alpha\) содержала бы две параллельные прямые \(BC\) и \(EF\), а через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна — плоскость \(\alpha\) совпала бы с плоскостью шестиугольника, что противоречит условию. По признаку параллельности прямой и плоскости \(BC \parallel \alpha\).
2) Прямые \(AB\) и \(EF\) лежат в плоскости шестиугольника и не параллельны, поэтому они пересекаются. Их общая точка принадлежит прямой \(EF\), а значит, и плоскости \(\alpha\). Плоскости \(\alpha\) прямая \(AB\) не принадлежит: иначе плоскость \(\alpha\) содержала бы две пересекающиеся прямые \(AB\) и \(EF\), а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна — плоскость \(\alpha\) совпала бы с плоскостью шестиугольника. Прямая \(AB\) имеет с плоскостью \(\alpha\) общую точку и этой плоскости не принадлежит, следовательно, она пересекает плоскость \(\alpha\).
3) Прямые \(BD\) и \(EF\) тоже лежат в плоскости шестиугольника и не параллельны, поэтому пересекаются, и их общая точка принадлежит плоскости \(\alpha\). Плоскости \(\alpha\) прямая \(BD\) не принадлежит: иначе эта плоскость содержала бы пересекающиеся прямые \(BD\) и \(EF\) и совпала бы с плоскостью шестиугольника. Значит, прямая \(BD\) пересекает плоскость \(\alpha\).
4) Прямая \(AD\) параллельна прямой \(EF\), лежащей в плоскости \(\alpha\), и плоскости \(\alpha\) не принадлежит — по той же причине, что и прямая \(BC\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(AD \parallel \alpha\).
Ответ: 1) прямая \(BC\) параллельна плоскости \(\alpha\); 2) прямая \(AB\) пересекает плоскость \(\alpha\); 3) прямая \(BD\) пересекает плоскость \(\alpha\); 4) прямая \(AD\) параллельна плоскости \(\alpha\).
