Страница 53 номер 5.7, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются, а плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(a\). Каким может быть взаимное расположение прямой \(b\) и плоскости \(\alpha\)?
Пусть \(M\) — точка пересечения прямых \(a\) и \(b\). Точка \(M\) принадлежит прямой \(a\), а прямая \(a\) общих точек с плоскостью \(\alpha\) не имеет, поэтому \(M \notin \alpha\). Точка \(M\) принадлежит и прямой \(b\), значит, прямая \(b\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит.
Прямая \(b\) может быть параллельна плоскости \(\alpha\). В плоскости \(\alpha\) есть прямые, не параллельные прямой \(a\): если бы все прямые плоскости \(\alpha\) были параллельны прямой \(a\), то они были бы параллельны между собой, а в каждой плоскости есть пересекающиеся прямые. Возьмём такую прямую \(n\) и проведём через точку \(M\) прямую \(b\), параллельную прямой \(n\). Прямая \(b\) не принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(b \parallel \alpha\). Прямые \(a\) и \(b\) при этом различны: прямая \(b\) параллельна прямой \(n\), а прямая \(a\) прямой \(n\) не параллельна.
Прямая \(b\) может и пересекать плоскость \(\alpha\). Отметим в плоскости \(\alpha\) произвольную точку \(K\) и проведём прямую \(MK\). Она пересекает прямую \(a\) в точке \(M\) и имеет с плоскостью \(\alpha\) общую точку \(K\), а с прямой \(a\) не совпадает, так как прямая \(a\) с плоскостью \(\alpha\) общих точек не имеет.
Ответ: прямая \(b\) либо пересекает плоскость \(\alpha\), либо параллельна ей; лежать в плоскости \(\alpha\) прямая \(b\) не может.
Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются, а плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(a\). Каким может быть взаимное расположение прямой \(b\) и плоскости \(\alpha\)?
Пусть \(M\) — точка пересечения прямых \(a\) и \(b\). Точка \(M\) принадлежит прямой \(a\), а прямая \(a\) общих точек с плоскостью \(\alpha\) не имеет, поэтому \(M \notin \alpha\). Точка \(M\) принадлежит и прямой \(b\), значит, прямая \(b\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит.
Остаются две возможности, и каждая из них осуществима.
Прямая \(b\) может быть параллельна плоскости \(\alpha\). В плоскости \(\alpha\) есть прямые, не параллельные прямой \(a\): если бы все прямые плоскости \(\alpha\) были параллельны прямой \(a\), то они были бы параллельны между собой, а в каждой плоскости есть пересекающиеся прямые. Возьмём такую прямую \(n\) и проведём через точку \(M\) прямую \(b\), параллельную прямой \(n\). Прямая \(b\) не принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(b \parallel \alpha\). Прямые \(a\) и \(b\) при этом различны: прямая \(b\) параллельна прямой \(n\), а прямая \(a\) прямой \(n\) не параллельна.
Прямая \(b\) может и пересекать плоскость \(\alpha\). Отметим в плоскости \(\alpha\) произвольную точку \(K\) и проведём прямую \(MK\). Она пересекает прямую \(a\) в точке \(M\) и имеет с плоскостью \(\alpha\) общую точку \(K\), а с прямой \(a\) не совпадает, так как прямая \(a\) с плоскостью \(\alpha\) общих точек не имеет.
Ответ: прямая \(b\) либо пересекает плоскость \(\alpha\), либо параллельна ей; лежать в плоскости \(\alpha\) прямая \(b\) не может.
