Страница 59 номер 5.55, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(BC\) равен 7 см, а радиус описанной окружности — 9 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины острого угла \(B\).
Дано:
\(\triangle ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\)
\(BC = 7\) см
\(R = 9\) см — радиус описанной окружности
\(BL\) — биссектриса угла \(ABC\), точка \(L\) лежит на катете \(AC\)
Найти: \(BL\).
Решение:
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна диаметру описанной окружности, поэтому \(AB = 2R = 18\) см. Тогда \(\cos \angle ABC = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{7}{18}\).
Обозначим \(\angle ABC = 2\alpha\). Тогда \(\angle LBC = \alpha\), и по формуле косинуса двойного угла \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1\), откуда \[\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{7}{18}}{2} = \frac{\frac{25}{18}}{2} = \frac{25}{36}.\]
Угол \(\alpha\) острый, поэтому \(\cos \alpha = \dfrac{5}{6}\).
Треугольник \(LBC\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(C\), а катет \(BC\) прилежит к углу \(LBC\), поэтому \(\cos \alpha = \dfrac{BC}{BL}\) и \[BL = \frac{BC}{\cos \alpha} = \frac{7}{\frac{5}{6}} = 7 \cdot \frac{6}{5} = 8{,}4 \text{ (см)}.\]
Ответ: \(8{,}4\) см.
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(BC\) равен 7 см, а радиус описанной окружности — 9 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины острого угла \(B\).
Дано:
\(\triangle ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\)
\(BC = 7\) см
\(R = 9\) см — радиус описанной окружности
\(BL\) — биссектриса угла \(ABC\), точка \(L\) лежит на катете \(AC\)
Найти: \(BL\).
Решение:
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина его гипотенузы, поэтому гипотенуза равна диаметру этой окружности: \(AB = 2R = 18\) см.
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(BC\) прилежит к углу \(ABC\), поэтому \(\cos \angle ABC = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{7}{18}\).
Обозначим \(\angle ABC = 2\alpha\). Тогда \(\angle LBC = \alpha\), и по формуле косинуса двойного угла \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1\), откуда \[\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{7}{18}}{2} = \frac{\frac{25}{18}}{2} = \frac{25}{36}.\]
Угол \(\alpha\) острый, поэтому \(\cos \alpha = \dfrac{5}{6}\).
Треугольник \(LBC\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(C\), а катет \(BC\) прилежит к углу \(LBC\), поэтому \(\cos \alpha = \dfrac{BC}{BL}\) и \[BL = \frac{BC}{\cos \alpha} = \frac{7}{\frac{5}{6}} = 7 \cdot \frac{6}{5} = 8{,}4 \text{ (см)}.\]
Ответ: \(8{,}4\) см.
