Страница 59 номер 5.54, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\). На отрезках \(BM\) и \(CA_1\) соответственно отметили точки \(E\) и \(F\) так, что \(EF \parallel AB_1\). Найдите отношение \(\frac{EF}{AB_1}\).
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — призма
\(M\) — середина ребра \(CC_1\)
\(E \in BM\), \(F \in CA_1\), \(EF \parallel AB_1\)
Найти: \(\dfrac{EF}{AB_1}\).
Решение:
Отметим на луче \(BB_1\) точку \(G\) так, что \(B_1G = AA_1\). Отрезок \(B_1G\) лежит на прямой \(BB_1\), а боковые рёбра \(AA_1\) и \(BB_1\) призмы параллельны, поэтому отрезки \(AA_1\) и \(B_1G\) параллельны и по построению равны. Точки \(A_1\) и \(G\) лежат по одну сторону от прямой \(AB_1\), значит, четырёхугольник \(AA_1GB_1\) — параллелограмм, и потому \(A_1G \parallel AB_1\), \(A_1G = AB_1\). При этом \(BG = BB_1 + B_1G = 2BB_1\).
Прямые \(EF\) и \(A_1G\) параллельны прямой \(AB_1\), а потому параллельны между собой. Если бы прямая \(EF\) не принадлежала плоскости \(CA_1G\), то по признаку параллельности прямой и плоскости она была бы параллельна этой плоскости и не имела бы с ней общих точек, тогда как точка \(F\) лежит на отрезке \(CA_1\) и принадлежит этой плоскости. Значит, прямая \(EF\), а вместе с ней и точка \(E\), принадлежит плоскости \(CA_1G\).
Точка \(A_1\) не принадлежит плоскости \(BCC_1B_1\), поэтому плоскости \(CA_1G\) и \(BCC_1B_1\) различны, а точки \(C\) и \(G\) принадлежат обеим (точка \(G\) лежит на прямой \(BB_1\)), поэтому по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и обе точки на ней лежат. Через две точки проходит только одна прямая, значит, плоскости пересекаются по прямой \(CG\). Точка \(E\) лежит на прямой \(BM\), принадлежащей плоскости \(BCC_1B_1\), и принадлежит плоскости \(CA_1G\), значит, \(E\) — точка пересечения прямых \(BM\) и \(CG\).
В четырёхугольнике \(BCC_1B_1\) имеем \(CC_1 \parallel BB_1\), поэтому \(CM \parallel BG\). При этом \(CM = \dfrac{1}{2}CC_1\), а \(BG = 2BB_1 = 2CC_1\), то есть \(CM : BG = 1 : 4\).
В треугольниках \(CEM\) и \(GEB\) углы \(ECM\) и \(EGB\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(CM\) и \(GB\) и секущей \(CG\), а углы \(CEM\) и \(GEB\) равны как вертикальные. Значит, треугольники подобны, и \(\dfrac{CE}{EG} = \dfrac{CM}{GB} = \dfrac{1}{4}\), откуда \(\dfrac{CE}{CG} = \dfrac{1}{5}\).
В треугольнике \(CA_1G\) точки \(E\) и \(F\) лежат на сторонах \(CG\) и \(CA_1\), и \(EF \parallel A_1G\). Следовательно, \[\frac{EF}{A_1G} = \frac{CE}{CG} = \frac{1}{5}.\]
Так как \(A_1G = AB_1\), получаем \(EF = \dfrac{1}{5}AB_1\).
Ответ: \(\dfrac{EF}{AB_1} = \dfrac{1}{5}\).
Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\). На отрезках \(BM\) и \(CA_1\) соответственно отметили точки \(E\) и \(F\) так, что \(EF \parallel AB_1\). Найдите отношение \(\frac{EF}{AB_1}\).
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — призма
\(M\) — середина ребра \(CC_1\)
\(E \in BM\), \(F \in CA_1\), \(EF \parallel AB_1\)
Найти: \(\dfrac{EF}{AB_1}\).
Решение:
Отметим на луче \(BB_1\) точку \(G\) так, что \(B_1G = AA_1\). Боковые рёбра \(AA_1\) и \(BB_1\) призмы параллельны, а отрезок \(B_1G\) лежит на прямой \(BB_1\), поэтому отрезки \(AA_1\) и \(B_1G\) параллельны; по построению они ещё и равны. Точки \(A_1\) и \(G\) лежат по одну сторону от прямой \(AB_1\), значит, четырёхугольник \(AA_1GB_1\) — параллелограмм, и потому \(A_1G \parallel AB_1\), \(A_1G = AB_1\). При этом \(BG = BB_1 + B_1G = 2BB_1\).
Прямая \(EF\) параллельна прямой \(AB_1\), прямая \(A_1G\) тоже параллельна прямой \(AB_1\), поэтому \(EF \parallel A_1G\). Если бы прямая \(EF\) не принадлежала плоскости \(CA_1G\), то по признаку параллельности прямой и плоскости она была бы параллельна этой плоскости и не имела бы с ней общих точек. Но точка \(F\) лежит на отрезке \(CA_1\), а значит, принадлежит плоскости \(CA_1G\). Следовательно, прямая \(EF\) принадлежит плоскости \(CA_1G\), и точка \(E\) принадлежит этой плоскости.
Точка \(A_1\) не принадлежит плоскости \(BCC_1B_1\), поэтому плоскости \(CA_1G\) и \(BCC_1B_1\) различны. Точки \(C\) и \(G\) принадлежат обеим плоскостям (точка \(G\) лежит на прямой \(BB_1\)), поэтому по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и обе точки на ней лежат. Через две точки проходит только одна прямая, значит, плоскости пересекаются по прямой \(CG\). Точка \(E\) лежит на прямой \(BM\), принадлежащей плоскости \(BCC_1B_1\), и принадлежит плоскости \(CA_1G\). Значит, \(E\) — точка пересечения прямых \(BM\) и \(CG\).
В четырёхугольнике \(BCC_1B_1\) имеем \(CC_1 \parallel BB_1\), поэтому \(CM \parallel BG\). При этом \(CM = \dfrac{1}{2}CC_1\), а \(BG = 2BB_1 = 2CC_1\), то есть \(CM : BG = 1 : 4\).
В треугольниках \(CEM\) и \(GEB\) углы \(ECM\) и \(EGB\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(CM\) и \(GB\) и секущей \(CG\), а углы \(CEM\) и \(GEB\) равны как вертикальные. Значит, треугольники подобны, и \(\dfrac{CE}{EG} = \dfrac{CM}{GB} = \dfrac{1}{4}\), откуда \(\dfrac{CE}{CG} = \dfrac{1}{5}\).
В треугольнике \(CA_1G\) точка \(E\) лежит на стороне \(CG\), точка \(F\) — на стороне \(CA_1\), и \(EF \parallel A_1G\). Следовательно, \[\frac{EF}{A_1G} = \frac{CE}{CG} = \frac{1}{5}.\]
Так как \(A_1G = AB_1\), получаем \(EF = \dfrac{1}{5}AB_1\).
Ответ: \(\dfrac{EF}{AB_1} = \dfrac{1}{5}\).
