Страница 59 номер 5.53, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(M\) и \(N\) — середины соответственно рёбер \(AA_1\) и \(BB_1\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\). На отрезках \(BM\) и \(AC_1\) соответственно отметили точки \(P\) и \(K\) так, что \(PK \parallel CN\). Найдите отношение \(\frac{PK}{CN}\).
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — призма
\(M\) — середина ребра \(AA_1\)
\(N\) — середина ребра \(BB_1\)
\(P \in BM\), \(K \in AC_1\), \(PK \parallel CN\)
Найти: \(\dfrac{PK}{CN}\).
Решение:
Отметим на луче \(BB_1\) точку \(F\) так, что \(NF = CC_1\). Так как \(NF = CC_1 = BB_1\), а \(BN = \dfrac{1}{2}BB_1\), точка \(F\) лежит за точкой \(B_1\), и \(BF = \dfrac{3}{2}BB_1\).
Четырёхугольник \(BCC_1B_1\) — параллелограмм, поэтому \(BB_1 \parallel CC_1\), а значит, и \(NF \parallel CC_1\). Отрезки \(NF\) и \(CC_1\) параллельны и равны, а точки \(F\) и \(C_1\) лежат по одну сторону от прямой \(CN\), поэтому четырёхугольник \(NFC_1C\) — параллелограмм. Следовательно, \(C_1F \parallel CN\) и \(C_1F = CN\).
Прямые \(PK\) и \(C_1F\) параллельны прямой \(CN\), а потому параллельны между собой. Если бы прямая \(PK\) не принадлежала плоскости \(AC_1F\), то по признаку параллельности прямой и плоскости она была бы параллельна этой плоскости и не имела бы с ней общих точек, тогда как точка \(K\) лежит на отрезке \(AC_1\) и принадлежит этой плоскости. Значит, прямая \(PK\), а вместе с ней и точка \(P\), принадлежит плоскости \(AC_1F\).
Точка \(C_1\) не принадлежит плоскости \(ABB_1A_1\), поэтому плоскости \(AC_1F\) и \(ABB_1A_1\) различны, а точки \(A\) и \(F\) принадлежат обеим (точка \(F\) лежит на прямой \(BB_1\)), поэтому по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и обе точки на ней лежат. Через две точки проходит только одна прямая, значит, плоскости пересекаются по прямой \(AF\). Точка \(P\) лежит на прямой \(BM\), принадлежащей плоскости \(ABB_1A_1\), и принадлежит плоскости \(AC_1F\), значит, \(P\) — точка пересечения прямых \(BM\) и \(AF\).
Рассмотрим параллелограмм \(ABB_1A_1\) и точку \(F\) на луче \(BB_1\).
В четырёхугольнике \(ABB_1A_1\) имеем \(AA_1 \parallel BB_1\), поэтому \(AM \parallel BF\). При этом \(AM = \dfrac{1}{2}AA_1\), а \(BF = \dfrac{3}{2}BB_1 = \dfrac{3}{2}AA_1\), то есть \(AM : BF = 1 : 3\).
В треугольниках \(APM\) и \(FPB\) углы \(PAM\) и \(PFB\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AM\) и \(FB\) и секущей \(AF\), а углы \(APM\) и \(FPB\) равны как вертикальные. Значит, треугольники подобны, и \(\dfrac{AP}{PF} = \dfrac{AM}{FB} = \dfrac{1}{3}\), откуда \(\dfrac{AP}{AF} = \dfrac{1}{4}\).
В треугольнике \(AC_1F\) точки \(P\) и \(K\) лежат на сторонах \(AF\) и \(AC_1\), и \(PK \parallel C_1F\). Следовательно, \[\frac{PK}{C_1F} = \frac{AP}{AF} = \frac{1}{4}.\]
Так как \(C_1F = CN\), получаем \(PK = \dfrac{1}{4}CN\).
Ответ: \(\dfrac{PK}{CN} = \dfrac{1}{4}\).
Точки \(M\) и \(N\) — середины соответственно рёбер \(AA_1\) и \(BB_1\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\). На отрезках \(BM\) и \(AC_1\) соответственно отметили точки \(P\) и \(K\) так, что \(PK \parallel CN\). Найдите отношение \(\frac{PK}{CN}\).
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — призма
\(M\) — середина ребра \(AA_1\)
\(N\) — середина ребра \(BB_1\)
\(P \in BM\), \(K \in AC_1\), \(PK \parallel CN\)
Найти: \(\dfrac{PK}{CN}\).
Решение:
Отметим на луче \(BB_1\) точку \(F\) так, что \(NF = CC_1\). Так как \(NF = CC_1 = BB_1\), а \(BN = \dfrac{1}{2}BB_1\), точка \(F\) лежит за точкой \(B_1\), и \(BF = \dfrac{3}{2}BB_1\).
Четырёхугольник \(BCC_1B_1\) — параллелограмм, поэтому \(BB_1 \parallel CC_1\), а значит, и \(NF \parallel CC_1\). Отрезки \(NF\) и \(CC_1\) параллельны и равны, а точки \(F\) и \(C_1\) лежат по одну сторону от прямой \(CN\), поэтому четырёхугольник \(NFC_1C\) — параллелограмм. Следовательно, \(C_1F \parallel CN\) и \(C_1F = CN\).
Прямая \(PK\) параллельна прямой \(CN\), прямая \(C_1F\) тоже параллельна прямой \(CN\); две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(PK \parallel C_1F\). Если бы прямая \(PK\) не принадлежала плоскости \(AC_1F\), то по признаку параллельности прямой и плоскости она была бы параллельна этой плоскости и не имела бы с ней общих точек. Но точка \(K\) лежит на отрезке \(AC_1\), а значит, принадлежит плоскости \(AC_1F\). Следовательно, прямая \(PK\) принадлежит плоскости \(AC_1F\), и точка \(P\) принадлежит этой плоскости.
Точка \(C_1\) не принадлежит плоскости \(ABB_1A_1\), поэтому плоскости \(AC_1F\) и \(ABB_1A_1\) различны. Точки \(A\) и \(F\) принадлежат обеим плоскостям (точка \(F\) лежит на прямой \(BB_1\)), поэтому по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и обе точки на ней лежат. Через две точки проходит только одна прямая, значит, плоскости пересекаются по прямой \(AF\). Точка \(P\) лежит на прямой \(BM\), принадлежащей плоскости \(ABB_1A_1\), и принадлежит плоскости \(AC_1F\). Значит, \(P\) — точка пересечения прямых \(BM\) и \(AF\).
Рассмотрим параллелограмм \(ABB_1A_1\) и точку \(F\) на луче \(BB_1\).
В четырёхугольнике \(ABB_1A_1\) имеем \(AA_1 \parallel BB_1\), поэтому \(AM \parallel BF\). При этом \(AM = \dfrac{1}{2}AA_1\), а \(BF = \dfrac{3}{2}BB_1 = \dfrac{3}{2}AA_1\), то есть \(AM : BF = 1 : 3\).
В треугольниках \(APM\) и \(FPB\) углы \(PAM\) и \(PFB\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AM\) и \(FB\) и секущей \(AF\), а углы \(APM\) и \(FPB\) равны как вертикальные. Значит, треугольники подобны, и \(\dfrac{AP}{PF} = \dfrac{AM}{FB} = \dfrac{1}{3}\), откуда \(\dfrac{AP}{AF} = \dfrac{1}{4}\).
В треугольнике \(AC_1F\) точка \(P\) лежит на стороне \(AF\), точка \(K\) — на стороне \(AC_1\), и \(PK \parallel C_1F\). Следовательно, \[\frac{PK}{C_1F} = \frac{AP}{AF} = \frac{1}{4}.\]
Так как \(C_1F = CN\), получаем \(PK = \dfrac{1}{4}CN\).
Ответ: \(\dfrac{PK}{CN} = \dfrac{1}{4}\).
