Страница 59 номер 5.52, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В тетраэдре \(DABC\) проведены медианы \(AM\) и \(BN\) соответственно граней \(ABC\) и \(ADB\). На прямых \(AM\) и \(BN\) отметили точки \(P\) и \(Q\) соответственно так, что \(PQ \parallel CD\). Найдите отношение \(\frac{PQ}{CD}\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(AM\) — медиана грани \(ABC\)
\(BN\) — медиана грани \(ADB\)
\(P \in AM\), \(Q \in BN\), \(PQ \parallel CD\)
Найти: \(\dfrac{PQ}{CD}\).
Решение:
Точка \(M\) — середина ребра \(BC\), точка \(N\) — середина ребра \(AD\). Пусть \(L\) — середина ребра \(AB\).
Медианы \(AM\) и \(CL\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке, которая делит каждую из них в отношении \(2 : 1\), считая от вершины; обозначим её через \(P\), тогда \(LP = \dfrac{1}{3}LC\). Медианы \(BN\) и \(DL\) треугольника \(ABD\) пересекаются в точке \(Q\), и тогда \(LQ = \dfrac{1}{3}LD\).
Точки \(C\), \(L\) и \(D\) не лежат на одной прямой, поэтому они задают треугольник \(LCD\). В нём \(\dfrac{LP}{LC} = \dfrac{LQ}{LD} = \dfrac{1}{3}\) и угол при вершине \(L\) общий, значит, треугольники \(LPQ\) и \(LCD\) подобны. Отсюда \(\angle LPQ = \angle LCD\), а эти углы — соответственные при прямых \(PQ\) и \(CD\) и секущей \(LC\). Следовательно, \(PQ \parallel CD\) и \(PQ = \dfrac{1}{3}CD\).
Покажем, что других таких точек нет. Прямая \(AM\) принадлежит плоскости \(ABC\), а прямая \(BN\) пересекает эту плоскость в точке \(B\), не лежащей на прямой \(AM\) (иначе точки \(A\), \(B\) и \(M\) лежали бы на одной прямой, и вершина \(A\) оказалась бы на прямой \(BC\)). Значит, прямые \(AM\) и \(BN\) скрещивающиеся.
Через пересекающиеся прямые \(AM\) и \(PQ\) проходит плоскость \(\beta\) и притом только одна. Прямая \(BN\) не принадлежит плоскости \(\beta\): иначе прямые \(AM\) и \(BN\) лежали бы в одной плоскости. Поэтому прямая \(BN\) имеет с плоскостью \(\beta\) не более одной общей точки, а точка \(Q\) — их общая точка.
Пусть точки \(P_1\) на прямой \(AM\) и \(Q_1\) на прямой \(BN\) таковы, что \(P_1Q_1 \parallel CD\). Точка \(P\) прямой \(CD\) не принадлежит: она лежит в плоскости \(ABC\), вершина \(D\) этой плоскости не принадлежит, поэтому прямая \(CD\) пересекает плоскость \(ABC\) только в точке \(C\), а \(P \ne C\), потому что \(P\) делит медиану \(CL\) в отношении \(2 : 1\), считая от вершины \(C\).
Если \(P_1 = P\), то прямые \(P_1Q_1\) и \(PQ\) обе проходят через точку \(P\) параллельно прямой \(CD\), а через точку пространства, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Значит, они совпадают, и прямая \(P_1Q_1\) принадлежит плоскости \(\beta\).
Если же \(P_1 \ne P\), то точка \(P_1\) прямой \(PQ\) не принадлежит, потому что прямые \(AM\) и \(PQ\) пересекаются только в точке \(P\). В плоскости \(\beta\) через точку \(P_1\) проходит прямая, параллельная прямой \(PQ\), а через точку пространства, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Прямая \(P_1Q_1\) параллельна прямой \(CD\), то есть прямой \(PQ\), поэтому она совпадает с проведённой прямой и принадлежит плоскости \(\beta\).
В обоих случаях точка \(Q_1\) — общая точка прямой \(BN\) и плоскости \(\beta\), то есть \(Q_1 = Q\). Точка \(Q\) прямой \(CD\) не принадлежит: она лежит в плоскости \(ABD\), вершина \(C\) этой плоскости не принадлежит, поэтому прямая \(CD\) пересекает плоскость \(ABD\) только в точке \(D\), а \(Q \ne D\), потому что \(LQ = \dfrac{1}{3}LD\). Через точку пространства, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна, поэтому прямая \(P_1Q_1\) — это прямая \(PQ\), и тогда \(P_1 = P\).
Следовательно, \(PQ = \dfrac{1}{3}CD\).
Ответ: \(\dfrac{PQ}{CD} = \dfrac{1}{3}\).
В тетраэдре \(DABC\) проведены медианы \(AM\) и \(BN\) соответственно граней \(ABC\) и \(ADB\). На прямых \(AM\) и \(BN\) отметили точки \(P\) и \(Q\) соответственно так, что \(PQ \parallel CD\). Найдите отношение \(\frac{PQ}{CD}\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(AM\) — медиана грани \(ABC\)
\(BN\) — медиана грани \(ADB\)
\(P \in AM\), \(Q \in BN\), \(PQ \parallel CD\)
Найти: \(\dfrac{PQ}{CD}\).
Решение:
Точка \(M\) — середина ребра \(BC\), точка \(N\) — середина ребра \(AD\). Пусть \(L\) — середина ребра \(AB\).
Отрезки \(AM\) и \(CL\) — медианы треугольника \(ABC\); они пересекаются в точке, которая делит каждую из них в отношении \(2 : 1\), считая от вершины. Обозначим эту точку через \(P\); тогда \(LP = \dfrac{1}{3}LC\). Отрезки \(BN\) и \(DL\) — медианы треугольника \(ABD\); обозначим точку их пересечения через \(Q\), и тогда \(LQ = \dfrac{1}{3}LD\). Точка \(P\) лежит на прямой \(AM\), точка \(Q\) — на прямой \(BN\); покажем, что это и есть отмеченные в условии точки.
Точки \(C\), \(L\) и \(D\) не лежат на одной прямой, поэтому они задают треугольник \(LCD\). В нём \(\dfrac{LP}{LC} = \dfrac{LQ}{LD} = \dfrac{1}{3}\) и угол при вершине \(L\) общий, значит, треугольники \(LPQ\) и \(LCD\) подобны. Отсюда \(\angle LPQ = \angle LCD\), а эти углы — соответственные при прямых \(PQ\) и \(CD\) и секущей \(LC\). Следовательно, \(PQ \parallel CD\) и \(PQ = \dfrac{1}{3}CD\).
Осталось убедиться, что других таких точек нет. Прямая \(AM\) принадлежит плоскости \(ABC\), а прямая \(BN\) пересекает эту плоскость в точке \(B\), не лежащей на прямой \(AM\) (иначе точки \(A\), \(B\) и \(M\) лежали бы на одной прямой, и вершина \(A\) оказалась бы на прямой \(BC\)). Значит, прямые \(AM\) и \(BN\) скрещивающиеся.
Прямые \(AM\) и \(PQ\) различны: точка \(Q\) лежит на прямой \(BN\) и не лежит на прямой \(AM\), потому что скрещивающиеся прямые общих точек не имеют. Значит, \(AM\) и \(PQ\) — две разные прямые, проходящие через точку \(P\), то есть пересекающиеся. Через пересекающиеся прямые \(AM\) и \(PQ\) проходит плоскость \(\beta\) и притом только одна. Прямая \(BN\) не принадлежит плоскости \(\beta\): иначе прямые \(AM\) и \(BN\) лежали бы в одной плоскости. Поэтому прямая \(BN\) имеет с плоскостью \(\beta\) не более одной общей точки, а точка \(Q\) — их общая точка.
Пусть теперь точки \(P_1\) на прямой \(AM\) и \(Q_1\) на прямой \(BN\) таковы, что \(P_1Q_1 \parallel CD\). Точка \(P\) прямой \(CD\) не принадлежит: точка \(P\) лежит в плоскости \(ABC\), вершина \(D\) этой плоскости не принадлежит, поэтому прямая \(CD\) пересекает плоскость \(ABC\) только в точке \(C\), а \(P \ne C\), потому что точка \(P\) делит медиану \(CL\) в отношении \(2 : 1\), считая от вершины \(C\).
Если \(P_1 = P\), то прямые \(P_1Q_1\) и \(PQ\) обе проходят через точку \(P\) параллельно прямой \(CD\). Через точку пространства, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна, поэтому эти прямые совпадают: прямая \(P_1Q_1\) — это прямая \(PQ\), и она принадлежит плоскости \(\beta\).
Если же \(P_1 \ne P\), то точка \(P_1\) прямой \(PQ\) не принадлежит, потому что прямые \(AM\) и \(PQ\) пересекаются только в точке \(P\). В плоскости \(\beta\) через точку \(P_1\) проходит прямая, параллельная прямой \(PQ\), а через точку пространства, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Прямая \(P_1Q_1\) параллельна прямой \(CD\), то есть прямой \(PQ\), поэтому она совпадает с проведённой прямой и принадлежит плоскости \(\beta\).
В обоих случаях прямая \(P_1Q_1\) принадлежит плоскости \(\beta\). Значит, точка \(Q_1\) — общая точка прямой \(BN\) и плоскости \(\beta\), то есть \(Q_1 = Q\). Точка \(Q\) прямой \(CD\) не принадлежит: точка \(Q\) лежит в плоскости \(ABD\), вершина \(C\) этой плоскости не принадлежит, поэтому прямая \(CD\) пересекает плоскость \(ABD\) только в точке \(D\), а \(Q \ne D\), потому что \(LQ = \dfrac{1}{3}LD\). Через точку пространства, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна, поэтому через точку \(Q\) проходит только одна прямая, параллельная прямой \(CD\); значит, прямая \(P_1Q_1\) — это прямая \(PQ\), и тогда \(P_1 = P\).
Следовательно, \(PQ = \dfrac{1}{3}CD\).
Ответ: \(\dfrac{PQ}{CD} = \dfrac{1}{3}\).
