Страница 59 номер 5.51, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(BD\), \(CD\) и \(AB\) тетраэдра \(DABC\). На прямых \(BN\) и \(CK\) отмечены соответственно точки \(F\) и \(E\) так, что \(FE \parallel AM\). Найдите отношение \(\frac{FE}{AM}\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(M\) — середина ребра \(BD\)
\(N\) — середина ребра \(CD\)
\(K\) — середина ребра \(AB\)
\(F \in BN\), \(E \in CK\), \(FE \parallel AM\)
Найти: \(\dfrac{FE}{AM}\).
Решение:
Пусть \(P\) — середина отрезка \(BM\); тогда \(BP = PM = MD\) и \(BP = \dfrac{1}{4}BD\).
В треугольнике \(ABM\) отрезок \(KP\) — средняя линия, поэтому \(KP \parallel AM\) и \(KP = \dfrac{1}{2}AM\).
Прямые \(FE\) и \(KP\) параллельны прямой \(AM\), а потому параллельны между собой. Если бы прямая \(FE\) не принадлежала плоскости \(CKP\), то по признаку параллельности прямой и плоскости она была бы параллельна этой плоскости и не имела бы с ней общих точек, тогда как точка \(E\) лежит на прямой \(CK\) и принадлежит этой плоскости. Значит, прямая \(FE\), а вместе с ней и точка \(F\), принадлежит плоскости \(CKP\).
Точка \(K\) не принадлежит плоскости \(BCD\): иначе вместе с точкой \(B\) она задавала бы прямую \(BK\), лежащую в плоскости \(BCD\), и тогда в этой плоскости лежала бы точка \(A\). Значит, плоскости \(CKP\) и \(BCD\) различны, а точки \(C\) и \(P\) принадлежат обеим (точка \(P\) лежит на ребре \(BD\)), поэтому по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и обе точки на ней лежат. Через две точки проходит только одна прямая, значит, плоскости пересекаются по прямой \(CP\). Точка \(F\) принадлежит плоскости \(CKP\) и лежит на прямой \(BN\), принадлежащей плоскости \(BCD\), значит, \(F\) — точка пересечения прямых \(BN\) и \(CP\).
Проведём в плоскости \(BCD\) через точку \(P\) прямую, параллельную прямой \(BN\); пусть она пересекает отрезок \(DN\) в точке \(Z\).
В треугольнике \(DBN\) прямая \(PZ\) параллельна стороне \(BN\), поэтому \(\dfrac{DZ}{DN} = \dfrac{DP}{DB} = \dfrac{3}{4}\). Так как \(DN = \dfrac{1}{2}CD\), получаем \(DZ = \dfrac{3}{8}CD\) и \(CZ = \dfrac{5}{8}CD\), тогда как \(CN = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{4}{8}CD\).
В треугольнике \(CPZ\) точки \(F\) и \(N\) лежат на сторонах \(CP\) и \(CZ\), и \(FN \parallel PZ\), поэтому \(\dfrac{CF}{CP} = \dfrac{CN}{CZ} = \dfrac{4}{5}\).
В треугольнике \(CKP\) точки \(F\) и \(E\) лежат на сторонах \(CP\) и \(CK\), и \(FE \parallel KP\). Значит, \[\frac{FE}{KP} = \frac{CF}{CP} = \frac{4}{5},\] откуда \(FE = \dfrac{4}{5}KP = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{2}AM = \dfrac{2}{5}AM\).
Ответ: \(\dfrac{FE}{AM} = \dfrac{2}{5}\).
Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(BD\), \(CD\) и \(AB\) тетраэдра \(DABC\). На прямых \(BN\) и \(CK\) отмечены соответственно точки \(F\) и \(E\) так, что \(FE \parallel AM\). Найдите отношение \(\frac{FE}{AM}\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(M\) — середина ребра \(BD\)
\(N\) — середина ребра \(CD\)
\(K\) — середина ребра \(AB\)
\(F \in BN\), \(E \in CK\), \(FE \parallel AM\)
Найти: \(\dfrac{FE}{AM}\).
Решение:
Пусть \(P\) — середина отрезка \(BM\). Так как точка \(M\) — середина ребра \(BD\), то \(BP = PM = MD\) и \(BP = \dfrac{1}{4}BD\).
В треугольнике \(ABM\) отрезок \(KP\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BM\), значит, \(KP\) — средняя линия этого треугольника, и потому \(KP \parallel AM\), \(KP = \dfrac{1}{2}AM\).
Прямая \(FE\) параллельна прямой \(AM\), и прямая \(KP\) параллельна прямой \(AM\); две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(FE \parallel KP\). Если бы прямая \(FE\) не принадлежала плоскости \(CKP\), то по признаку параллельности прямой и плоскости она была бы параллельна этой плоскости и не имела бы с ней общих точек. Но точка \(E\) лежит на прямой \(CK\), а значит, принадлежит плоскости \(CKP\). Следовательно, прямая \(FE\) принадлежит плоскости \(CKP\), и точка \(F\) принадлежит этой плоскости.
Точка \(K\) не принадлежит плоскости \(BCD\): иначе вместе с точкой \(B\) она задавала бы прямую \(BK\), лежащую в плоскости \(BCD\), и тогда в этой плоскости лежала бы точка \(A\). Значит, плоскости \(CKP\) и \(BCD\) различны. Точки \(C\) и \(P\) принадлежат обеим плоскостям (точка \(P\) лежит на ребре \(BD\)), поэтому по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и обе точки на ней лежат. Через две точки проходит только одна прямая, значит, плоскости пересекаются по прямой \(CP\).
Точка \(F\) принадлежит плоскости \(CKP\) и лежит на прямой \(BN\), которая принадлежит плоскости \(BCD\). Значит, \(F\) — точка пересечения прямых \(BN\) и \(CP\).
Проведём в плоскости \(BCD\) через точку \(P\) прямую, параллельную прямой \(BN\); пусть она пересекает отрезок \(DN\) в точке \(Z\).
В треугольнике \(DBN\) прямая \(PZ\) параллельна стороне \(BN\), поэтому \(\dfrac{DZ}{DN} = \dfrac{DP}{DB} = \dfrac{3}{4}\). Так как \(DN = \dfrac{1}{2}CD\), получаем \(DZ = \dfrac{3}{8}CD\) и \(CZ = \dfrac{5}{8}CD\), тогда как \(CN = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{4}{8}CD\).
В треугольнике \(CPZ\) точка \(F\) лежит на стороне \(CP\), точка \(N\) — на стороне \(CZ\), и прямая \(FN\) параллельна стороне \(PZ\). Следовательно, \(\dfrac{CF}{CP} = \dfrac{CN}{CZ} = \dfrac{4}{5}\).
В треугольнике \(CKP\) точка \(F\) лежит на стороне \(CP\), точка \(E\) — на стороне \(CK\), и \(FE \parallel KP\). Значит, \[\frac{FE}{KP} = \frac{CF}{CP} = \frac{4}{5},\] откуда \(FE = \dfrac{4}{5}KP = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{2}AM = \dfrac{2}{5}AM\).
Ответ: \(\dfrac{FE}{AM} = \dfrac{2}{5}\).
