Страницы 58-59 номер 5.50, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием пирамиды \(SABCDEF\) является шестиугольник \(ABCDEF\). На рёбрах \(SA\) и \(SE\) отметили соответственно точки \(M\) и \(N\) (рис. 5.32).
Известно, что \(\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SE}\). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(CMN\).
Треугольники \(SMN\) и \(SAE\) подобны: угол \(S\) у них общий и \(\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SE}\). Значит, \(\angle SMN = \angle SAE\), а эти углы — соответственные при прямых \(MN\) и \(AE\) и секущей \(SA\), поэтому \(MN \parallel AE\).
Прямая \(AE\) принадлежит плоскости основания, а прямая \(MN\) ей не принадлежит: иначе точки \(A\) и \(M\) лежали бы в плоскости основания, а тогда по аксиоме А4 в этой плоскости лежала бы вся прямая \(AM\) и вместе с ней точка \(S\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(MN \parallel ABC\).
Плоскости \(CMN\) и \(ABC\) различны: прямая \(MN\) принадлежит первой из них и не принадлежит второй. Общая точка \(C\) у них есть, значит, по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(C\). Секущая плоскость проходит через прямую \(MN\), параллельную плоскости основания, и пересекает эту плоскость, поэтому прямая пересечения параллельна прямой \(MN\), а значит, и прямой \(AE\).
Проведём в плоскости основания через точку \(C\) прямую, параллельную прямой \(AE\). Как видно на рисунке, она проходит вне шестиугольника \(ABCDEF\) и имеет с ним единственную общую точку \(C\). Пусть она пересекает прямую \(AB\) в точке \(U\), а прямую \(DE\) — в точке \(W\).
Точки \(M\) и \(U\) принадлежат секущей плоскости и плоскости грани \(SAB\), значит, прямая \(MU\) — линия их пересечения; пусть она пересекает ребро \(SB\) в точке \(P\). Так же точки \(N\) и \(W\) принадлежат плоскости грани \(SDE\), и прямая \(NW\) пересекает ребро \(SD\) в точке \(R\).
Как видно на рисунке, шестиугольник \(ABCDEF\) выпуклый, поэтому его диагональ \(CF\) разбивает шестиугольник на четырёхугольники \(ABCF\) и \(CDEF\), а вершины \(A\) и \(E\) лежат по разные стороны от прямой \(CF\). Значит, отрезок \(AE\) пересекает отрезок \(CF\); пусть \(X\) — точка их пересечения. Точка \(X\) лежит на прямой \(AE\), поэтому принадлежит плоскости \(SAE\), и лежит на прямой \(CF\), поэтому принадлежит плоскости \(SCF\). Точка \(S\) принадлежит обеим этим плоскостям, значит, прямая \(SX\) — линия их пересечения.
В треугольнике \(SAE\) прямая \(MN\) параллельна стороне \(AE\), а точка \(X\) лежит между \(A\) и \(E\), поэтому отрезок \(SX\) пересекает отрезок \(MN\); пусть \(G\) — точка их пересечения. Точка \(G\) лежит на прямой \(MN\), значит, принадлежит секущей плоскости, и лежит на прямой \(SX\), значит, принадлежит плоскости \(SCF\). Точка \(C\) тоже принадлежит и секущей плоскости, и плоскости \(SCF\). Следовательно, прямая \(CG\) — линия их пересечения; пусть она пересекает ребро \(SF\) в точке \(Q\).
Отрезки \(CP\), \(PM\), \(MQ\), \(QN\), \(NR\) и \(RC\) лежат соответственно в гранях \(SBC\), \(SAB\), \(SAF\), \(SEF\), \(SDE\) и \(SCD\). Шестиугольник \(CPMQNR\) — искомое сечение.
Ответ: шестиугольник \(CPMQNR\) — искомое сечение.
Основанием пирамиды \(SABCDEF\) является шестиугольник \(ABCDEF\). На рёбрах \(SA\) и \(SE\) отметили соответственно точки \(M\) и \(N\) (рис. 5.32).
Известно, что \(\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SE}\). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(CMN\).
Треугольники \(SMN\) и \(SAE\) имеют общий угол \(S\), и \(\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SE}\), поэтому они подобны. Значит, \(\angle SMN = \angle SAE\), а эти углы — соответственные при прямых \(MN\) и \(AE\) и секущей \(SA\). Следовательно, \(MN \parallel AE\).
Прямая \(AE\) принадлежит плоскости основания, а прямая \(MN\) ей не принадлежит: иначе точки \(A\) и \(M\) лежали бы в плоскости основания, а тогда по аксиоме А4 в этой плоскости лежала бы вся прямая \(AM\) и вместе с ней точка \(S\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(MN \parallel ABC\).
Плоскости \(CMN\) и \(ABC\) различны: прямая \(MN\) принадлежит первой из них и не принадлежит второй. Общая точка \(C\) у них есть, значит, по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(C\). Секущая плоскость проходит через прямую \(MN\), параллельную плоскости основания, и пересекает эту плоскость, поэтому прямая пересечения параллельна прямой \(MN\), а значит, и прямой \(AE\).
Проведём в плоскости основания через точку \(C\) прямую, параллельную прямой \(AE\). Как видно на рисунке, она проходит вне шестиугольника \(ABCDEF\) и имеет с ним единственную общую точку \(C\). Пусть она пересекает прямую \(AB\) в точке \(U\), а прямую \(DE\) — в точке \(W\).
Точки \(M\) и \(U\) принадлежат секущей плоскости и плоскости грани \(SAB\) (точка \(M\) лежит на ребре \(SA\), точка \(U\) — на прямой \(AB\)). Значит, прямая \(MU\) — линия их пересечения; пусть она пересекает ребро \(SB\) в точке \(P\). Так же точки \(N\) и \(W\) принадлежат плоскости грани \(SDE\), и прямая \(NW\) пересекает ребро \(SD\) в точке \(R\).
Осталось найти точку, в которой секущая плоскость пересекает ребро \(SF\). Как видно на рисунке, шестиугольник \(ABCDEF\) выпуклый, поэтому его диагональ \(CF\) разбивает шестиугольник на четырёхугольники \(ABCF\) и \(CDEF\), а вершины \(A\) и \(E\) лежат по разные стороны от прямой \(CF\). Значит, отрезок \(AE\) пересекает отрезок \(CF\); пусть \(X\) — точка их пересечения. Точка \(X\) лежит на прямой \(AE\), поэтому принадлежит плоскости \(SAE\), и лежит на прямой \(CF\), поэтому принадлежит плоскости \(SCF\). Точка \(S\) принадлежит обеим этим плоскостям, значит, прямая \(SX\) — линия их пересечения.
В треугольнике \(SAE\) прямая \(MN\) параллельна стороне \(AE\), а точка \(X\) лежит между \(A\) и \(E\), поэтому отрезок \(SX\) пересекает отрезок \(MN\); пусть \(G\) — точка их пересечения. Точка \(G\) лежит на прямой \(MN\), значит, принадлежит секущей плоскости, и лежит на прямой \(SX\), значит, принадлежит плоскости \(SCF\). Точка \(C\) тоже принадлежит и секущей плоскости, и плоскости \(SCF\). Следовательно, прямая \(CG\) — линия их пересечения; пусть она пересекает ребро \(SF\) в точке \(Q\).
Остаётся соединить найденные точки: отрезок \(CP\) лежит в грани \(SBC\), отрезок \(PM\) — в грани \(SAB\), отрезок \(MQ\) — в грани \(SAF\), отрезок \(QN\) — в грани \(SEF\), отрезок \(NR\) — в грани \(SDE\), отрезок \(RC\) — в грани \(SCD\). Шестиугольник \(CPMQNR\) — искомое сечение.
Ответ: шестиугольник \(CPMQNR\) — искомое сечение.
