Страница 58 номер 5.49, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием пирамиды \(SABCDE\) является пятиугольник \(ABCDE\). На рёбрах \(SE\) и \(SD\) отметили соответственно точки \(M\) и \(N\) (рис. 5.31). Известно, что \(\frac{SM}{SE} = \frac{SN}{SD}\). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(BMN\).
Треугольники \(SMN\) и \(SED\) подобны: угол \(S\) у них общий и \(\dfrac{SM}{SE} = \dfrac{SN}{SD}\). Значит, \(\angle SMN = \angle SED\), а эти углы — соответственные при прямых \(MN\) и \(ED\) и секущей \(SE\), поэтому \(MN \parallel ED\).
Прямая \(ED\) принадлежит плоскости основания, а прямая \(MN\) ей не принадлежит: иначе точки \(E\) и \(M\) лежали бы в плоскости основания, а тогда по аксиоме А4 в этой плоскости лежала бы вся прямая \(EM\) и вместе с ней точка \(S\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(MN \parallel ABC\).
Плоскости \(BMN\) и \(ABC\) различны: прямая \(MN\) принадлежит первой из них и не принадлежит второй. Общая точка \(B\) у них есть, значит, по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(B\). Секущая плоскость проходит через прямую \(MN\), параллельную плоскости основания, и пересекает эту плоскость, поэтому прямая пересечения параллельна прямой \(MN\), а значит, и прямой \(ED\).
Проведём в плоскости основания через точку \(B\) прямую, параллельную прямой \(ED\). Как видно на рисунке, эта прямая проходит вне пятиугольника \(ABCDE\) и имеет с ним единственную общую точку \(B\); значит, в самом основании от сечения остаётся только точка \(B\), а все стороны сечения лежат в боковых гранях. Пусть проведённая прямая пересекает прямую \(AE\) в точке \(Z\), а прямую \(CD\) — в точке \(W\).
Точки \(M\) и \(Z\) принадлежат секущей плоскости и плоскости грани \(SAE\), значит, секущая плоскость пересекает плоскость этой грани по прямой \(MZ\); пусть она пересекает ребро \(SA\) в точке \(P\). Так же точки \(N\) и \(W\) принадлежат плоскости грани \(SCD\), и прямая \(NW\) пересекает ребро \(SC\) в точке \(Q\).
Отрезки \(BP\), \(PM\), \(MN\), \(NQ\) и \(QB\) лежат соответственно в гранях \(SAB\), \(SAE\), \(SDE\), \(SCD\) и \(SBC\). Пятиугольник \(BPMNQ\) — искомое сечение.
Ответ: пятиугольник \(BPMNQ\) — искомое сечение.
Основанием пирамиды \(SABCDE\) является пятиугольник \(ABCDE\). На рёбрах \(SE\) и \(SD\) отметили соответственно точки \(M\) и \(N\) (рис. 5.31). Известно, что \(\frac{SM}{SE} = \frac{SN}{SD}\). Постройте сечение пирамиды плоскостью \(BMN\).
Треугольники \(SMN\) и \(SED\) имеют общий угол \(S\), и \(\dfrac{SM}{SE} = \dfrac{SN}{SD}\), поэтому они подобны. Значит, \(\angle SMN = \angle SED\), а эти углы — соответственные при прямых \(MN\) и \(ED\) и секущей \(SE\). Следовательно, \(MN \parallel ED\).
Прямая \(ED\) принадлежит плоскости основания, а прямая \(MN\) ей не принадлежит: иначе точки \(E\) и \(M\) лежали бы в плоскости основания, а тогда по аксиоме А4 в этой плоскости лежала бы вся прямая \(EM\) и вместе с ней точка \(S\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(MN \parallel ABC\).
Плоскости \(BMN\) и \(ABC\) различны: прямая \(MN\) принадлежит первой из них и не принадлежит второй. Общая точка \(B\) у них есть, значит, по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(B\). Секущая плоскость проходит через прямую \(MN\), параллельную плоскости основания, и пересекает эту плоскость, поэтому прямая пересечения параллельна прямой \(MN\), а значит, и прямой \(ED\).
Проведём в плоскости основания через точку \(B\) прямую, параллельную прямой \(ED\). Как видно на рисунке, эта прямая проходит вне пятиугольника \(ABCDE\) и имеет с ним единственную общую точку \(B\); значит, в самом основании от сечения остаётся только точка \(B\), а все стороны сечения лежат в боковых гранях. Пусть проведённая прямая пересекает прямую \(AE\) в точке \(Z\), а прямую \(CD\) — в точке \(W\).
Точки \(M\) и \(Z\) принадлежат секущей плоскости и плоскости грани \(SAE\) (точка \(M\) лежит на ребре \(SE\), точка \(Z\) — на прямой \(AE\)). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость этой грани по прямой \(MZ\); пусть она пересекает ребро \(SA\) в точке \(P\). Так же точки \(N\) и \(W\) принадлежат плоскости грани \(SCD\), и прямая \(NW\) пересекает ребро \(SC\) в точке \(Q\).
Остаётся соединить найденные точки: отрезок \(BP\) лежит в грани \(SAB\), отрезок \(PM\) — в грани \(SAE\), отрезок \(MN\) — в грани \(SDE\), отрезок \(NQ\) — в грани \(SCD\), отрезок \(QB\) — в грани \(SBC\). Пятиугольник \(BPMNQ\) — искомое сечение.
Ответ: пятиугольник \(BPMNQ\) — искомое сечение.
