Страница 53 номер 5.5, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

1) Утверждение неверно.

Возьмём в плоскости \(\alpha\) две пересекающиеся прямые \(m\) и \(n\), а вне плоскости \(\alpha\) — точку \(M\) (такая точка существует по аксиоме А1). Проведём через точку \(M\) прямую \(a\), параллельную прямой \(m\), и прямую \(b\), параллельную прямой \(n\).

Каждая из прямых \(a\) и \(b\) проходит через точку \(M\), не принадлежащую плоскости \(\alpha\), поэтому ни одна из них этой плоскости не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(a \parallel \alpha\) и \(b \parallel \alpha\). Прямые \(a\) и \(b\) различны: если бы они совпадали, то прямые \(m\) и \(n\) были бы параллельны между собой как две прямые, параллельные одной и той же прямой, а они пересекаются. Значит, прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(M\) и потому не параллельны.

Две прямые, параллельные одной и той же плоскости, могут быть и скрещивающимися. Возьмём куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и отметим точки \(P\) и \(Q\) — середины рёбер \(AA_1\) и \(DD_1\).

Рёбра \(AA_1\) и \(DD_1\) — противоположные стороны квадрата \(ADD_1A_1\), а \(AP = \dfrac{1}{2} AA_1\) и \(DQ = \dfrac{1}{2} DD_1\), поэтому \(AP \parallel DQ\) и \(AP = DQ\). Тогда четырёхугольник \(APQD\) — параллелограмм, откуда \(PQ \parallel AD\). Прямая \(AD\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(PQ\) этой плоскости не принадлежит: точка \(P\) плоскости \(ABC\) не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(PQ \parallel ABC\). Отрезки \(A_1B_1\) и \(AB\) — противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\), поэтому \(A_1B_1 \parallel AB\), и точно так же \(A_1B_1 \parallel ABC\).

Прямые \(PQ\) и \(A_1B_1\) не параллельны: иначе прямые \(AD\) и \(AB\) были бы параллельны между собой как две прямые, параллельные одной и той же прямой, а они пересекаются в точке \(A\). Общих точек у прямых \(PQ\) и \(A_1B_1\) тоже нет: прямая \(PQ\) лежит в плоскости грани \(ADD_1A_1\), а прямая \(A_1B_1\) этой плоскости не принадлежит, потому что ей не принадлежит точка \(B_1\); значит, по аксиоме А4 общих точек у прямой \(A_1B_1\) с плоскостью \(ADD_1A_1\) не больше одной, и эта точка — \(A_1\), а она прямой \(PQ\) не принадлежит. Следовательно, прямые \(PQ\) и \(A_1B_1\) не пересекаются и не параллельны, то есть скрещиваются.

2) Утверждение неверно.

Если прямая параллельна плоскости, то в этой плоскости существует прямая, параллельная данной прямой. Поскольку \(b \parallel \alpha\), в плоскости \(\alpha\) найдётся прямая, параллельная прямой \(b\). Обозначим её \(a\).

Для такой прямой выполняются оба условия: \(a \parallel b\) и \(b \parallel \alpha\). Однако прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а значит, имеет с ней общие точки и параллельной этой плоскости не является.

Если к условию добавить требование, чтобы прямая \(a\) не принадлежала плоскости \(\alpha\), утверждение станет верным: в плоскости \(\alpha\) найдётся прямая \(c\), параллельная прямой \(b\), тогда \(a \parallel c\) как две прямые, параллельные прямой \(b\), и по признаку параллельности прямой и плоскости \(a \parallel \alpha\).

3) Утверждение неверно, и причина та же: прямая \(a\) может лежать в плоскости \(\alpha\).

Отметим в плоскости \(\alpha\) точку, не принадлежащую прямой \(b\), и проведём через неё прямую \(a\), параллельную прямой \(b\). По аксиоме А2 в любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии, поэтому такая прямая существует.

Условия \(a \parallel b\) и \(b \subset \alpha\) выполнены, но прямая \(a\) лежит в плоскости \(\alpha\) и потому не параллельна ей.

Если добавить требование, чтобы прямая \(a\) не принадлежала плоскости \(\alpha\), получится признак параллельности прямой и плоскости, и утверждение станет верным.

Ответ: неверно ни одно из трёх утверждений: 1) прямые \(a\) и \(b\) могут пересекаться или скрещиваться; 2) и 3) прямая \(a\) может лежать в плоскости \(\alpha\), а прямая, принадлежащая плоскости, этой плоскости не параллельна.