Страница 53 номер 5.4, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). Верно ли утверждение, что прямая \(a\) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости \(\alpha\)?
Утверждение неверно.
Если прямая параллельна плоскости, то в этой плоскости существует прямая, параллельная данной прямой, поэтому в плоскости \(\alpha\) найдётся прямая \(b\), параллельная прямой \(a\). Отметим на прямой \(b\) точку \(M\) и проведём в плоскости \(\alpha\) через эту точку прямую \(c\), отличную от прямой \(b\).
Прямые \(a\) и \(c\) общих точек не имеют: прямая \(a\) не имеет общих точек с плоскостью \(\alpha\), а прямая \(c\) этой плоскости принадлежит. Но параллельными они быть не могут: если бы \(a \parallel c\), то прямые \(b\) и \(c\) были бы параллельны между собой как две прямые, параллельные прямой \(a\), а они пересекаются в точке \(M\). Значит, прямые \(a\) и \(c\) скрещивающиеся, то есть в плоскости \(\alpha\) есть прямые, не параллельные прямой \(a\).
Так устроена каждая прямая плоскости \(\alpha\), не параллельная прямой \(a\): общих точек с прямой \(a\) у неё нет, потому что таких точек нет у всей плоскости \(\alpha\), а прямые без общих точек либо параллельны, либо скрещиваются.
Ответ: нет, утверждение неверно: прямая \(a\) параллельна лишь некоторым прямым плоскости \(\alpha\), а с остальными прямыми этой плоскости она скрещивается.
Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). Верно ли утверждение, что прямая \(a\) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости \(\alpha\)?
Утверждение неверно.
Если прямая параллельна плоскости, то в этой плоскости существует прямая, параллельная данной прямой. Поэтому в плоскости \(\alpha\) найдётся прямая \(b\), параллельная прямой \(a\). Отметим на прямой \(b\) точку \(M\) и проведём в плоскости \(\alpha\) через эту точку прямую \(c\), отличную от прямой \(b\).
Прямые \(a\) и \(c\) общих точек не имеют: прямая \(a\) не имеет общих точек с плоскостью \(\alpha\), а прямая \(c\) этой плоскости принадлежит. Но параллельными они быть не могут: если бы \(a \parallel c\), то прямые \(b\) и \(c\) были бы параллельны между собой как две прямые, параллельные прямой \(a\), а они пересекаются в точке \(M\). Значит, прямые \(a\) и \(c\) не пересекаются и не параллельны, то есть они скрещивающиеся.
Следовательно, в плоскости \(\alpha\) есть прямые, не параллельные прямой \(a\).
Так устроена каждая прямая плоскости \(\alpha\), не параллельная прямой \(a\): общих точек с прямой \(a\) у неё нет, потому что таких точек нет у всей плоскости \(\alpha\), а прямые без общих точек либо параллельны, либо скрещиваются.
Ответ: нет, утверждение неверно: прямая \(a\) параллельна лишь некоторым прямым плоскости \(\alpha\), а с остальными прямыми этой плоскости она скрещивается.
