Страница 58 номер 5.48, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием пирамиды \(SABCD\) является трапеция \(ABCD\), в которой \(AD \parallel BC\) и \(\frac{AD}{BC} = 3\). Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(SA\) и \(SB\) соответственно. В каком отношении плоскость \(MND\) делит ребро \(SC\), считая от точки \(S\)?
Дано:
\(SABCD\) — пирамида
\(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\)
\(\dfrac{AD}{BC} = 3\)
\(M\) — середина ребра \(SA\)
\(N\) — середина ребра \(SB\)
\(L\) — точка пересечения плоскости \(MND\) с ребром \(SC\)
Найти: \(SL : LC\).
Решение:
Отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника \(SAB\), поэтому \(MN \parallel AB\). Прямая \(AB\) принадлежит плоскости основания \(ABC\), а прямая \(MN\) этой плоскости не принадлежит: иначе точки \(A\) и \(M\) лежали бы в плоскости основания, а тогда по аксиоме А4 в этой плоскости лежала бы вся прямая \(AM\) и вместе с ней точка \(S\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(MN \parallel ABC\).
Плоскости \(MND\) и \(ABC\) различны: прямая \(MN\) принадлежит первой из них и не принадлежит второй. Общая точка \(D\) у них есть, значит, по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(D\). Секущая плоскость проходит через прямую \(MN\), параллельную плоскости \(ABC\), и пересекает эту плоскость, поэтому прямая пересечения параллельна прямой \(MN\), а значит, и прямой \(AB\).
Проведём в плоскости основания через точку \(D\) прямую, параллельную прямой \(AB\). Она пересекает прямую \(BC\): будь она параллельна прямой \(BC\), прямые \(AB\) и \(BC\) оказались бы параллельными, а они пересекаются в точке \(B\). Пусть \(E\) — точка пересечения.
В четырёхугольнике \(ABED\) стороны \(AD\) и \(BE\) лежат на параллельных прямых \(AD\) и \(BC\), а стороны \(AB\) и \(DE\) параллельны по построению. Значит, \(ABED\) — параллелограмм и \(BE = AD = 3BC\). Точка \(C\) лежит на отрезке \(BE\), причём \(BC = \dfrac{1}{3}BE\).
Точки \(N\) и \(E\) принадлежат секущей плоскости и принадлежат плоскости \(SBC\) (точка \(N\) лежит на ребре \(SB\), точка \(E\) — на прямой \(BC\)). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(SBC\) по прямой \(NE\), и точка \(L\) — это точка пересечения прямой \(NE\) с ребром \(SC\).
Проведём через точку \(C\) прямую, параллельную прямой \(NE\); пусть она пересекает отрезок \(BN\) в точке \(G\).
В треугольнике \(BNE\) прямая \(CG\) параллельна стороне \(NE\), поэтому \(\dfrac{BG}{BN} = \dfrac{BC}{BE} = \dfrac{1}{3}\). Так как \(BN = \dfrac{1}{2}SB\), получаем \(BG = \dfrac{1}{6}SB\) и \(SG = SB - BG = \dfrac{5}{6}SB\).
В треугольнике \(SGC\) точка \(N\) лежит на стороне \(SG\), точка \(L\) — на стороне \(SC\), и \(NL \parallel GC\). Следовательно, \[\frac{SL}{SC} = \frac{SN}{SG} = \frac{\frac{1}{2}SB}{\frac{5}{6}SB} = \frac{3}{5}.\]
Значит, \(SL : LC = 3 : 2\).
Ответ: \(SL : LC = 3 : 2\).
Основанием пирамиды \(SABCD\) является трапеция \(ABCD\), в которой \(AD \parallel BC\) и \(\frac{AD}{BC} = 3\). Точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(SA\) и \(SB\) соответственно. В каком отношении плоскость \(MND\) делит ребро \(SC\), считая от точки \(S\)?
Дано:
\(SABCD\) — пирамида
\(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\)
\(\dfrac{AD}{BC} = 3\)
\(M\) — середина ребра \(SA\)
\(N\) — середина ребра \(SB\)
\(L\) — точка пересечения плоскости \(MND\) с ребром \(SC\)
Найти: \(SL : LC\).
Решение:
Отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника \(SAB\), поэтому \(MN \parallel AB\). Прямая \(AB\) принадлежит плоскости основания \(ABC\), а прямая \(MN\) этой плоскости не принадлежит: иначе точки \(A\) и \(M\) лежали бы в плоскости основания, а тогда по аксиоме А4 в этой плоскости лежала бы вся прямая \(AM\) и вместе с ней точка \(S\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(MN \parallel ABC\).
Плоскости \(MND\) и \(ABC\) различны: прямая \(MN\) принадлежит первой из них и не принадлежит второй. Общая точка \(D\) у них есть, значит, по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(D\). Секущая плоскость проходит через прямую \(MN\), параллельную плоскости \(ABC\), и пересекает эту плоскость; если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Следовательно, плоскости \(MND\) и \(ABC\) пересекаются по прямой, которая проходит через точку \(D\) и параллельна прямой \(MN\), а значит, и прямой \(AB\).
Проведём в плоскости основания через точку \(D\) прямую, параллельную прямой \(AB\). Она пересекает прямую \(BC\): будь она параллельна прямой \(BC\), прямые \(AB\) и \(BC\) оказались бы параллельными, а они пересекаются в точке \(B\). Пусть \(E\) — точка пересечения.
В четырёхугольнике \(ABED\) стороны \(AD\) и \(BE\) лежат на параллельных прямых \(AD\) и \(BC\), а стороны \(AB\) и \(DE\) параллельны по построению. Значит, \(ABED\) — параллелограмм и \(BE = AD = 3BC\). Точка \(C\) лежит на отрезке \(BE\), причём \(BC = \dfrac{1}{3}BE\).
Точки \(N\) и \(E\) принадлежат секущей плоскости и принадлежат плоскости \(SBC\) (точка \(N\) лежит на ребре \(SB\), точка \(E\) — на прямой \(BC\)). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(SBC\) по прямой \(NE\), и точка \(L\) — это точка пересечения прямой \(NE\) с ребром \(SC\).
Рассмотрим треугольник \(SBE\), в котором лежат точки \(N\), \(C\) и \(L\). Проведём через точку \(C\) прямую, параллельную прямой \(NE\); пусть она пересекает отрезок \(BN\) в точке \(G\).
В треугольнике \(BNE\) прямая \(CG\) параллельна стороне \(NE\), поэтому \(\dfrac{BG}{BN} = \dfrac{BC}{BE} = \dfrac{1}{3}\). Так как \(BN = \dfrac{1}{2}SB\), получаем \(BG = \dfrac{1}{6}SB\) и \(SG = SB - BG = \dfrac{5}{6}SB\).
В треугольнике \(SGC\) точка \(N\) лежит на стороне \(SG\), точка \(L\) — на стороне \(SC\), и \(NL \parallel GC\). Следовательно, \[\frac{SL}{SC} = \frac{SN}{SG} = \frac{\frac{1}{2}SB}{\frac{5}{6}SB} = \frac{3}{5}.\]
Значит, \(SL : LC = 3 : 2\).
Ответ: \(SL : LC = 3 : 2\).
